Quadraturen — Zurückf. auf. 552 Quadraturen — Zurückf. auf. 
«) 2 p (i)=2 / < v ^)]- 
Da jede dieser Gleichungen s andere vor 
stellt, welche den Werthen p = 1, p — 2 
. , . p = s entsprechen, so stellt dies 
System eine Reihe recurrenter Gleichun 
gen vor. Die in den s Gleichungen h) ent 
haltenen Werthe a/ 1 ), . . . * ^ 
und ihre Differenzialquotienten nach x,, 
x„ . . . x sind nämlich durch die Glei- 
1 n 
chungen a) und ihre Differenzialquotienten 
nach den nämlichen Grössen bestimmt, 
welche sich bilden lassen, wenn man als 
bekannt voraus setzt die Grössen 
. . . 2 und ihre Differenzial- 
quotienten nach jr, . , . x . Indem 
man so fortfährt, gelangt man auf die 
selbe Weise zu a ^ mittels der Gier" 
V 
chung n), ohne dass ausser den Grössen 
. , . z^ eine neue Will- 
kürlichkeit eintritt. Was diese letztem 
Grössen noch anhetrifft, so sind sie offen 
bar Functionen von x,, x, ... x und, 
da nichts Weiteres über sie bestimmt ist, 
willkürliche Functionen. Da ihre Diffe 
renzialquotienten nach x, , x 2 ... x 
nun gegeben sind, so sind sie aber die 
einzigen Willkürlichkeiten in den allge 
meinen Integralen der Gleichungen 1). 
Man hat somit folgenden Satz: 
„Jedes System simultaner partieller 
Differenzialgleichungen von der Form 1), 
welches also s abhängige und »i-fl un 
abhängige Variable enthält, in Bezug 
auf die erste unabhängige Variable er 
ster, in Bezug auf die andern von belie 
biger Ordnung ist, hat soviel allgemeine 
Integrale, als Gleichungen gegeben sind, 
mit so viel willkürlichen Functionen, als 
abhängige Variable vorhanden sind, und 
wo jede dieser Functionen eine Variable 
weniger hat, als in den vorgelegten Glei 
chungen unabhängige Variable vorhan 
den sind.“ 
Auf die Form des Systems 1) lässt 
sich aber eine partielle Differenzialglei 
chung höherer Ordnung stets bringen. 
Wir wollen dies nur mit der Gleichung 
zweiter Ordnung mit 3 unabhängigen 
Variablen darthun. Die Erweiterung auf 
beliebig hohe Ordnungen und beliebig 
viele Variablen ist nämlich nicht mit 
der geringsten Schwierigkeit verbunden. 
Gedachte Gleichung nimmt nämlich die 
Form an: 
dx a 
= f(«, *i, 
d a 2 d a Z 
(5*2 
d a a 
dx' da;,’ dx t ' dxdx,' dxdx 2 ' dx, 2 ' dx^x.^ dx t 2 
Wir setzen nun: 
dz 
dx 
und erhalten; 
dz, ./ dz 
f \ X ’ * 1 ’ *’ dx,' 
Dies ist eine Gleichung von der Form 
der in System 1) enthaltenen, ebenso 
dz 
wie die Gleichung = s ,, und diese 
beiden verbunden gehen eben das ver 
langte System. 
Man hat ein Integral mit 2 willkür 
lichen Functionen von 2 Variablen. All 
gemein : 
„Das Integral einer partiellen Glei 
chung /der Ordnung mit n unabhängigen 
Variablen enthält p willkürliche Functio 
nen von n—1 Variablen.“ 
d^ dz, dz, d } z d 2 z \ 
d.r a ’ da;,’ dx 2 ' da:,da; a ’ dx a a / 
enthaltenen Ordnung nicht nach einer 
einzigen Variablen genommen sind. 
Dies ist z. B der Fall hei der Gleichung 
zweiter Ordnung : 
d a 2 
dxdx, 
— f(x, x,, z, 
dz dz 
dx' dx. 
Man sieht, dass die directe Anwendung 
der eben gegebenen Methode hier miss 
lingt. Indess kann man durch eine leichte 
Transformation unsere Gleichung wieder 
auf die obige Form bringen. Setze 
man z. B.: 
Diese Eeduction der partiellen Diffe 
renzialgleichungen höherer Ordnung auf gQ 
• simultane erleidet jedoch eine bemerkens- 
werthe Ausnahme in dem Falle, wo die 
Differenzialquotienten der höchsten darin 
Xi — xy, 
hat man: 
’dz\ _ dz dz 
.dx/ ~ dx~^^ dx,'