Form (Zahlenlehre). 
I )a?,+(rt i u-f bq-q YD)y,] 
i+ s i!/i)> 
/]/ü, s i —a i u-]^bq — qY Ü 
WVD = 
P 
iichungen 5) stattfinden: 
±y,Y-D= — 
<7 
rational sind. Setzt man 
yw multiplicirten und den 
;n Theil des Ausdruckes 
eh gleich und if>, so zer- 
ung in zwei andere, welche 
sprechenden zweiten Glei- 
: — oder — = —identisch 
s r s 
lass diese letzteren nicht 
rächten sind. — Im Falle 
en 4) ist nun, Avenn man 
ie ohigen Werthe setzt: 
■qVd 
qV» 
D 
.rpV7>='X 
xb/17 - P -X 
r 
)ie zwei Ausdrücke in je- 
t einander multiplicirt, ge- 
i obige Resultat. — Durch 
rationalen und irrationalen 
t man noch im Falle der 
1): 
p = y,-l-bip, 
gehen ; 
QZZ—f—blp, 
Quadrat. Form (Zahlenlehre). 49 Quadrat. Form (Zahlenlehre). 
acu 2 , f 2 
—— und — 
i 2 M 2 
Da aber die Aequivalenz eine eigentliche 
sein soll, ist diese Reihe von Werthen, 
also die Gleichungen 5 ganz zu ver- ganze Zahlen. Es ist aber auch 
werfen. 4i 2 —46 2 m 2 = 4w 2 —4«cm 2 
Die Gleichung ^ 
-1 und deshalb auch —- also auch - eine 
Avii’d gewöhnlich die Feilsche Gleichung t» <w 
genannt. ganze Zahl, und aus diesem Grunde: 
6) Sei jetzt eo der grösste gemeinschaft- 2t—2bu 
liehe Faktor von a, 2b und c, so lässt 21 = 
sich zeigen, dass, mUM zu ganzen eine eben solcb auch: 
Zahlen zu machen, die Bedingung noth- 
wendig und ausreichend sei, dass auch 
ca«) und mxp ganze Zahlen sind. Dies 
soll jetzt beAviesen werden. Es ist nach Es ist nun 
Abschnitt 5) 
, a, 24 
2 o: 
21- 
2t-\-2bu 
-2 P = * f 
: = an//, 
w 
a 
Da die Ausdrücke 
2b 
meinschaftlichen Faktor haben, so kann, 
Avenn p — A, /u v ganze Zahlen sind, wxß 
d. h., da der Ausdruck rechts immer 
grade ist, 2/L und 2o zu gleicher Zeit 
beide grade oder beide ungrade. 
Aber 
O, o _4t 2 -46 2 w 2 
w . 
keinen ge- also gleich einer durch 4 theilharen Zahl, 
t ^ Jy 2 4- 
da eine ganze Zahl Avar; hier- 
kein Bruch sein. 
Sei jetzt 
: ftl(// 
aus folgt, dass 2t • 2p immer grade ist, 
also auch 2t und 2p einzeln genommen, 
das heisst t und p sind ganze Zahlen. 
_. ,. , cu au 
Die ohigen Werthe von ¡u— , v— — 
eine ganze Zahl, dann ist 
ait = c) ff — bu, 
also auch mf eine ganze Zahl, Avenn zeigen ohne Weiteres, dass ti und v 
p—t, /u, v dergleichen sind. Unsere ebenfalls ganze Zahlen sind. 
Bedingung ist also nothwendig; sie ist l und u sind durch die oben gegebene 
aber auch ausreichend. Denn seien jetzt Gleichung 
u — Mff, t = < 2 —Du 2 = o) 2 
in der That ganze Zahlen, dann ist: zu bestimmen, wo w der grösste gemein 
l — bu CU au t + bu apVinfflipUo l’nntnv w.n n 0/. p ?cf-. 
l)t=- 
W 
und Avegen 
hat man 
oder 
/u= , V-—, 
01 0) 
Xq — /uv = l 
o> 2 = t 2 —üu 2 
— tu' 1 —acu 1 . 
Da — und — ganze Zahlen sind, so sind 0 _ .. 
CI) OJ ö »Substitution 
auch 
schaftliche Factor von a, 2b und c ist; 
und alle Werthe von t und u, welche 
diese Gleichung erfüllen, geben ent 
sprechende Werthe von t, /u, r, p durch 
die Gleichung 1). Es sind dies also 
auch alle Werthe, Avelche t, /u, v, p an 
nehmen können. Wir haben oben ge 
zeigt, dass Avenn r 15 irgend eine 
ly i> 0 il 
die zu einer aequiva- 
lenten Form führte, zu setzen Avar: 
«, =ak-\-y/Li, ß l +ß).... d/i, y^ny+yq, d t =ßy+dq, 
also, Avenn jetzt für t,v, q die bezüglichen Werthe eingesetzt Averden: 
. ~ a (t—bu) — C yu " _ß(l—bu)—cdu 
(O ’ 
7) Sei jetzt: 
na.“ -)- 2 bxy -f- cy 2 — m 
_ auu-\-y{l -\-bu) 
Yt- ? 
cf. = 
aßu-\-y(t-\-bu) 
Factor, und sind auch nicht beide gleich 
Null, so kann auch nicht m = 0 sein, denn 
d. h. es sollen x und y ganze Zahlen sonst AA'äre, wenn man mit a multi- 
sein, welche diese Gleichung erfüllen, pücirt: 
Man sagt dann, m sei durch die Form 
(«, b, c) dargstellt oder ausgedrückt. Ha- 4. h. 
hen x und y keinen gemeinschaftlichen 
(ax + by) 2 -Dy 2 = 0, 
ax -\-by—yY D 
4