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mm 
Quadraturen —• Zurückf. auf. 563 Quadraturen — Zurückf. auf. 
z = 2G+2y, 
ein Ausdruck, der ebenfalls zwei willkürliche Functionen enthält, 
III) Dies Verfahren aber gibt zunächst nicht das allgemeine Integral, wenn: 
ß 2 =4AC 
ist. Es wird dann A, = A a , und der Ausdruck: 
* = ¿1 V+ip(y-X t x) + *p l (y-X 2 x) 
enthält nur eine willkürliche Function. Um dies zu vermeiden, setzen wir zu 
nächst : 
A a — X ^ -f- $, 
wo 0' eine abnehmende Constante sein soll. Man hat dann, wenn # sehr klein 
wird: 
* = *i V-\-xp{y-X l a.0-f)//i (y-X l x)-&xy l ' (y-X t x). 
Setzt man nun; 
V + ’/h = 7 un 4 —&(f ,. 
Letzteres erleidet nämlich darum kein Bedenken, weil man tp L ’ von beliebiger 
Grösse, also 9-tp/ immer endlich denken kann. Man hat: 
Z = Xi V+V (y-X l x)+x'j l (y-X l x), 
ein Ausdruck, der zwei willkürliche Functionen enthält, und also das allgemeine 
Integral ist. 
IV) Sei gegeben: 
q*r—2pqs+p* t — 0. 
Die Gleichung 3) wird: 
q*X i —2p qX+p' 1 —0, 
d. h. : 
q dy -f- p dx-0, 
und das System 1) wird: 
4 
F 
Die erste hat zum Integral: 
Da nun gegeben ist: 
so ist: 
dz — 0. z—ß. 
Aus den beiden Integralen also ergibt sich: 
Y=v( 2 ), oder: 
Diese Gleichung zerfällt in das System: 
also z~ ß: 
p = q(f (2). 
dz 
1=-»«’ s=°- 
dy 
‘7 (/*)> 
dx 
y +xq (ß) = a, 
oder wenn man z für ß einsetzt: 
y+xq.{z) = a, 
eine Gleichung, aus der man in Gemeinschaft mit z = ß das allgemeine Integral 
ahleitet: