Quadraturen — Zurückf. auf. 564 Quadraturen — Zurückf. auf. 
V) Sei gegeben: 
Es ist: 
also: 
V + X(f (*) = V(s)- 
x 2 r+2^’ y s-\-y~ l — 0. 
x* P—2xy k+y 2 P =0, 
k ~k -V- 
A i — A 2 —• j 
x dp+y dq — 0, 
xdy — ydx. 
Die zweite Gleichung hat zum Integral: 
y = ccx. 
Substituivt man dies in die erste, so kommt: 
dp « dq — 0, 
p-\-ctq=ß, 
also wenn man « = , ß ==( f i { (( ) setzt: 
y x 
pß— q- — <f 
x y 
Das noch zu integrirende System ist: 
= 
dx x ’ dx Kx/’ 
f 
V_ \ _ x_ 
y 
gesetzt wird. Als Integral erhält man wieder: 
y = ax, z = x f{ct)+ß = xf'(j~j+ß, 
also das allgemeine Integral. 
•=■'(*)+'(*)• 
VI) Schliesslich nehmen wir noch die Gleichung: 
(1 -j- q 2 )r—2pqs-{-{ 1 +^ 2 ) t = 0. 
Ihr Integral gibt den Ausdruck für diejenigen Flächen, deren beide Krümmungen 
in jedem Punkte gleich , aber entgegengesetzt gerichtet sind, oder diejenigen 
Flächen, welche innerhalb eines gegebenen Umrings den kleinsten Inhalt ergeben. 
Man hat: 
oder: 
(1-f q'' i )P-\-2p q A+l+p 2 =0, 
A) l-K 2 +(p + qkY =0. 
Die Systeme 1) und 2), die wir hier beide brauchen, da wir die zweite Integra 
tionsmethode anwenden wollen, lauten: 
dp+k x dq = 0, dy = k 2 dx, 
dp + k^dq — 0, dy — k v dx. 
Die erste dieser Gleichungen wird erfüllt, wenn man k L constant annimmt, hat 
also das Integral: 
p + k 1 q = p l . 
In der That, setzt man diesen Ausdruck in die Gleichung A) ein, wo man l = 
denkt, so ergibt sich: