— Zurückf. auf. 
Quadraturen — Zurückf. auf. 565 Quadraturen — Zurückf. auf. 
n beide Krümmungen 
sind, oder diejenigen 
einsten Inhalt ergeben. 
B) i+V+^^o. 
Ebenso gibt die erste Gleichung des zweiten Systems: 
P + Aj q-u 2 , 
und: 
C) l+A a a +^ a »=0. 
Mittels der Gleichungen B) und C), welche A) ersetzen, sind also A L und A 2 als 
willkürliche Constanten, ¡j. t und y 2 aber als durch diese Gleichungen bestimmt 
zu betrachten. 
Wendet man jetzt die zweite Integrationsmethode an, so ist in dem Integral, 
welches dem zweiten System entnommen ist, und welches man auch unter die 
Form F(p, q) =. A 2 bringen kann, A 2 in der That auch für die fernere Inte 
gration als constant zu betrachten, und unter dieser Voraussetzung hat die zweite 
Gleichung des ersten Systems ein Integral von der Gestalt: 
y — A 2 x = a. 
Aus diesem und dem ersten Integral p-\-k t (j= t u L erhält man, wenn man die 
Constante A t und folglich auch /u L , wie dies geschehen muss, als Function von u 
betrachtet: 
D) p+qq(y-X 2 x) = xp(y-X 2 x). 
Von diesen Functionen q> und xp ist aber nur die erste willkürlich, die zweite ist 
bestimmt mittels der Gleichung B), welche jetzt die Gestalt hat: 
E) 1 + [►/ (y—A 2 o:)] 2 + [tp(y-A 2 a)] 2 =0. 
Die Gleichung: 
V~k A 2 q — (U 2 
zerfällt in das System: 
dy dz 
da 2 ’ 
Dies hat die Integrale; 
y—l 2 x = ct, 
z—/u 2 x = ß, 
also das allgemeine Integral; 
F) z = [j, 2 x + F{y-X 2 x). 
Die Function F ist aber nicht willkürlich, da z noch die Gleichung D) erfüllen 
muss. In der That erhält man aus F; 
p = ,« 2 — A 2 F', 
q — F', 
und wenn man diese Werthe in D) einsetzt : 
G) f * a -X a F'+<p'F' = t/,, 
wodurch F r , also der Differenzialquotient von F, bestimmt, und F also bis auf 
eine willkürliche Constante bekannt ist. Demgemäss setzen wir, wenn y diese 
Constante ist, statt der Gleichung F): 
H) z=/u 2 x+F(y—X 2 x) + y. 
ir die zweite Integra- 
Dies ist das vollständige Integral. Es enthält nämlich die zwei willkürlichen Con- 
stanetn A 2 und y, da p 2 durch Gleichung C) bestimmt ist. F(y—k 2 x) ist durch 
Gleichung G) bedingt, und die darin vorkommenden Functionen q> und xp müssen 
wieder die Relation E) erfüllen. Es bleibt also in H) noch eine willkürliche 
Function übrig. 
onstant annimmt, hat 
Wir haben jetzt aus H) das allgemeine Integral herzuleiten. Dies geschieht 
in gewöhnlicher Weise, indem man setzt: 
l) ein, wo man A = A t 
J) A a =^(y), 
und ausserdem den Diffcrcnzialquotienten der Gleichung H) nach y genommen 
der Null gleich setzt. — Um diesen zu bilden, bemerke man erst, dass die Func-