Quadraturen — Zurückf. auf. 566 Quadraturen — Zurückf. auf. 
tion F und die Constante p 2 von k 2 abhängig sind. Die Gleichung C) gibt für 
die letztere; 
dtf 2 12 
dk 2 jM 2 
Was die Function F anbetrifft, so ist sie durch Gleichung G) gegeben, und ent 
hält sowohl involute in den Functionen q und xp, als auch evolutc in den 
Grössen ,¿«2 und X 2 , die in G) Vorkommen. Man hat aber wegen der Glei 
chung G): 
pr = X P~~ 
9—’ 
wo die Functionen xp, <f> und F die Variable y — X 2 x enthalten, die wir mit u 
bezeichnen wollen; dann hat man: 
K) F= l'ܱllti d „. 
J r(u)-X a 
Die untere Grenze kann beliebig genommen werden, also gleich Null sein, da in 
Gleichung H) schon die entsprechende Integrationsconstante enthalten ist. Nun 
hat man: 
L) 
dF_ 
dX„ 
ip(u)- 
, C 'K u )~ 
J I>(«)- 
Fi 
du —(- ■ 
J 
du 
7 («)—*■» f W (») ~ * a ] ' 2 Fi'* 7 («) - l i 
Differenziirt man nun die Gleichung H) in der That nach y, so hat man: 
^ X,x 
M) 
Fi 
+ 5t)/W+1=0, 
Das allgemeine Integral ist also enthalten in der Gleichung //, wenn man p 2 
und X 2 vermöge der Gleichungen C) und J) eliminirt denkt, und F durch die 
Gleichung K) bestimmt, in welcher ff und xp wieder durch Gleichung E) verbun 
den sind. Es ist dann aus H) nur noch y zu eliminiren, was mittels der Glei- 
d F 
chung M) geschieht, wo durch Gleichung L) gegeben ist. //> und / sind die 
beiden willkürlichen Functionen. 
16) Erweiterung der Monge’schen Methode auf eine gewisse 
Klasse nicht linearer Gleichungen von Ampere. 
Die Monge’sche Methode gibt noch Resultate für eine Klasse nicht linearer 
Gleichungen. Dies sind die Gleichungen von der Form: 
Ar-\-Bs-{-Ct-FD{rt—s 2 ) = f, 
wo A, B, C, D, e Functionen von x, y, z, p, q sind. 
Diese Erweiterung rührt von Ampere her, und ist mitgetheilt im Journal de 
l’école polytechnique, Calder 18. 
Gehen wir zunächst von den Gleichungen ans, welche die Functionen p, 
q, r, s, t definiren: 
1) dz~pdx-\-q dy, 
2) dp~rdx-\-sdy, 
3) dq — sdx-\-tdy, 
multipliciren die zweite mit t, die dritte mit s und subtrahiren, so erhalten wir; 
tdp — s dq ~(r t—s 2 ) dx, 
oder : 
4) t dp — s dq — io dx, 
wenn wir setzen : 
5) rt — S a =iO, 
während die gegebene Gleichung die Gestalt annimmt: 
5 a) Ar 4" Bs -j- C7 Uw — s. 
Die Gleichungen 5) und 5 a) sind der gegebenen vollständig gleichbedeutend. Von 
den Gleichungen 2), 3) und 4) ist jede eine nothwendige Folge der beiden andern.