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Quadraturen — Zurückf. auf. 575 Quadraturen — Zurückf. auf. 
kydx j- 
s-fl 
dx* — 0. 
Falls man nun für jede der s Werthe von A,, welche die Gleichung 5) erfüllen, 
aus einem Systeme 6) entweder allein oder in Verbindung mit denjenigen Glei 
chungen, welche die Grössen p (die s — 1 ten Differenzialquotienten von s) defini- 
ren, 2 Integrale u und v ableiten kann, was natürlich die Erfüllung von Integrabilitäts- 
hedingungen erfordert, so setzt man wie in den vorigen Abschnitten wieder ® — y (w) 
und hat ein erstes Integral, welches allerdings noch die Diffcrenzialquotienten von 
a bis zu der s — 1 ten Ordnung enthält; mit diesem Integrale aber kann man 
weiter die Integration fortsetzen, wenn es die Form 1) hat. 
Leitet man aber aus jedem der s Systeme 2 Integrale und v f und dem 
gemäss eins von der Form « = '/ f ( u i ) j 80 kann man mittels dieser s Glei 
chungen die s—1 ten Differenzialquotienten entwickeln. Sind nun deren 2: 
dxj dx 2 a ^ J dxy 1 
so erhält man durch Integration dieser Gleichungen, welche auf 2 totale Differen- 
s — 1 — r -f-1 
zialgleichungen mit 2 Variablen führen: 
also in derselben 
s # 1 7 d I / 
ox L dx 2 
Weise alle s—2 ten Differenzialquotienten. Mit diesen setzt man das Verfahren 
fort, bis man z, selbst erhält, und man hat dann das allgemeine Integral, da s 
willkürliche Functionen ij t , q 2 . . . y. darin enthalten sind. 
Dass die Fälle, wo dies Verfahren angewandt erscheint, nicht so häufig sein 
können, wie bei der Monge’schen Gleichung liegt an der Allgemeinheit der Glei 
chungen 6), welche mit steigender Ordnung der Gleichung auch immer mehr Va 
riable enthalten. Der Gleichung 5) kann man übrigens auch eine einfachere Form 
gehen. Setzen wir nämlich: 
1 - A ' 1 
1 ’ 
so wird Gleichung 5): 
7) 
s -f-1 
A, l s + A a I s i +A i l s ~ 2 + 
+A s l + A s + i - 0 ’ 
während aus den Gleichungen 4) erhalten wird 
s+ i 
wo t alle Werthe von 1 bis s annimmt, und A s =l ist, A 0 aber =0 ist. 
Aus dieser Gleichung folgt aber: 
8) 
A v l 
- — 
1 
, Ayl 1 -\-A 2 l 
2 “ ¿TT’ 
S -f-1 
, _ Ayl 3 + A a l* + Ay l 
= j > 
A s+l 
Ayl l +A 2 r x + . . . +A t l 
___ 
s-M