Quadraturen — Zurückf. auf. 582 Quadraturen 
Zurückf. auf. 
Yl (fi J_ 
mit Bedingungsgleichungen zwischen den A zu thun, deren Anzahl —ist; 
1 * A 
also: 
„Soll unsere Methode anwendbar sein, so können nur; 
n(n+1) (n — 1) (n—2) 
:2»-l 
1-2 1-2 
Coefficienten willkürlich gewählt werden, während die andern durch die Gleichun 
gen 7) bestimmmt sind.“ 
Dieselben schreiben wir mit Hülfe der Relationen 8) auch: 
9) A ( S-1 ^ Ä„( i_1 )A + A/ i-1 ) A (s_l) A +A A ( - n ~ 1 h A 
= 2 A 
(*~ 0 A ( i_1 ) 
Diese Gleichungen zeigen, dass^wenn eine der Grössen A, A t gegeben ist, sich die 
übrigen eindeutig durch dieselbe und die Coefficienten A ausdrücken lassen. 
Man hat also nur Systeme von Gleichungen 6), welche den beiden Werthen 
eines der A entsprechen. 
Was nun diese Gleichungen 6) anbetrifft, so werden vermöge der Relationen 
7) und 8) davon: 
1 + __ _ ____ 
identisch. — Die zweite Gleichung 
6) umfasst, da s nicht gleich n sein 
kann, n — 1 Gleichungen; die dritte, wo 
t kleiner als s sein muss , und s auch 
gleich n sein kann, hat 
n («— 1) 
Glei 
chungen, was mit Hinzunahme der ersten 
™ n(n—1) w(n+l) _ . 
Gleichung 6) —— 0 '+n = ——i Glet- 
2 
chungen gibt, von denen 
n(n—1) 
2 
aus- 
fallen, so dass das System 6) aus n Glei 
chungen besteht, in welchen jedenfalls 
aber die erste enthalten ist. 
Jetzt sind ganz die früheren Schlüsse 
zu wiederholen. Lassen sich für ein 
System der Werthe A der Gleichungen 
8) aus diesen n Gleichungen 6) auch 
n Integrale von der Form m 15 u 3 . . . 
u ableiten, so setzt man 
n 7 
U —(f'(u.,u~ . . . u 
n f v 15 2 n—\ h 
und hat eine partielle Differenzialglei 
chung erster Ordnung, die man entwe 
der direct integrirt, oder mit einem In 
tegrale des zweiten Systems verbindet. 
Da man aber aus diesen beiden Glei 
chungen nicht sämmtliche ersten Diffe- 
renziakpioticnten von z herleiten kann, 
so sind diese beiden Integrale eben nur 
als simultane unserer Gleichung zu be 
trachten, und aus ihnen die übrigen nach 
einer der bei den partiellen Differenzial 
gleichungen erster Ordnung gegebenen 
Methoden ahzuleiten. 
In ähnlicher Weise wie im vorigen 
Abschnitte könnte man auch die Am 
pere’sche Gleichung auf mehr Variablen 
erweitern. Wir unterlassen dies jedoch, 
da hierbei sich die Anzahl der Bedin 
gungen noch vermehren würde und selbst 
das hier gegebene Verfahren nur in we 
nigen Fällen Anwendung findet. Den 
noch haben wir geglaubt, da die Fälle, 
wo partielle Differenzialgleichungen in 
tegrirt werden können, überhaupt nur 
selten sind, diese Erweiterung nicht über 
gehen zu dürfen. 
20) Integration der partiellen 
Differenzialgleichungen durch 
Reihen und durch b e stimmte In 
te g r a 1 e. 
Da die Integration selbst linearer par 
tieller Differenzialgleichungen, wie wir 
gesehen haben, durch die vorhin gege 
benen Methoden nur in seltenen Fällen 
gelingt, so bleiben eben nur Reihenent 
wicklungen und bestimmte Integrale übrig, 
die wir als nahe verwandt hier gemein 
schaftlich betrachten. Auch selbst wenn 
eine der Methoden, die wir vorhin an 
gegeben haben, ausführbar wäre, zieht 
man bei der Behandlung bestimmter Pro 
bleme die Reihenentwicklung oft vor, da 
sie es möglich macht, die willkürlichen 
Functionen von Anfang an den gegebe 
nen Grenzbedingungen gemäss zu wäh 
len, weil, wie bereits an einer früheren 
Stelle gezeigt, im Allgemeinen die Spe- 
cialisirung derselben eine der schwierig 
sten Aufgaben bildet. 
Zunächst geben wir folgenden allge 
meinen Satz, welcher oft gestattet, aus