Quadraturen — Zuriickf. auf. 588 Quadraturen — Zurückf. auf. 
l=k cos ,9', m = ft sin 9'cos y/, n = k sin 9'sin i//, 
also : 
¿ = y(Z 2 + jre 2 +n 2 ), 
so hat unser Integral den Werth: 
äVfl ^»2 ^ 
/ / U[ft cosA] sin 9 d&dxp, 
•' 0*' 0 
wo : 
cos A = cos 9 cos 9' + sin$' sin9' cos (xp—xp f ). 
Es ist nun bekanntlich : sin 9 di9 dtp das Element der Oberfläche einer Kugel, 
welche vom Anfangspunkt der Coordinaten mit Radius 1 beschrieben ist, A der 
Winkel, welchen 2 durch d-xp, F'xp' bestimmte grade Linien mit einander machen, 
vorausgesetzt, dass man unter 1, .9, xp die Polarcoordinaten der Kugelfläche 
versteht. 
Da sich vermöge der Greuzbedingungen unser Integral über die ganze Kugel 
erstreckt, so ist leicht ersichtlich, dass sein Werth von der Wahl der Axen ganz 
unabhängig ist, denn weder das Element der Kugelfläche, noch der Winkel A 
wird durch diese berührt. Man kann also als Axe der ,r die durch die Winkel 
•9', xp' bestimmte, durch den Anfangspunkt der Coordinaten gehende Richtung neh 
men, so dass man hat: 
9'=0, A=9, 
♦ 
also ; 
I \ F(k 
'(WO 
cos 9) sin 9 «?9 dxp, 
ein Ausdruck, der leicht nach xp integrirt werden kann. Man erhält; 
oder wenn man: 
cos 9) sin 9 </9, 
setzt: 
cos 9 = ^ 
2n j* F(k /j.) dfi= 2n F(ft Y l*xn 2 + n 2 )d/u. 
Kommen wir jetzt auf unsere Gleichung zurück. Dieselbe ist nach jeder der 
Variablen zweiter Ordnung und enthält also auch zwei willkürliche Functionen. 
Um dieselben zu bestimmen, nehmen wir an, dass für: 
t = 0, u = f(x, y, z), 
und: 
y t = F ( x > y ’ 
werden mögen. 
Setzen wir voraus, dass: 
u= e at +ß x + yy J r<fZ’ 
ein particuläres Integral sei, und führen diesen Werth in die Differenzialgleichung 
ein, so verschwinden alle Variablen, und man erhält die Bedingungsgleichung 
zwischen den Constanten: 
cc* =a*(ß 2 -\-y 2 + d*), 
welche mithin ausreichend ist, damit die gegebene Exponentialgrösse wirklich ein 
particuläres Integral gebe. 
Da diese Gleichung quadratisch ist, so gibt es also zwei Werthe von u, und 
ihre Differenz, mit einer Constanten multiplicirt: