Quadraturen — Zurückf. auf. 589 Quadraturen 
Zurückf. auf. 
nt —nt 
M 
t ßx-\-yyß-dz e 
t 
ist ebenfalls ein Integral, welches sich auch sshveihen lässt; 
Mte^ x + yy + Jz j' + l at i u . 
du. 
Wenn wir e a ^ ,u statt der Function -F[m -f-n 2 ] betrachten, so kann 
f + 1 
man das in den Grenzen j genommene Integral nach dem oben gegebenen 
Satze in ein Doppelintegral von den Grenzen 0 und n, 0 und 2n verwandeln, so 
dass man hat: 
u = MteP x+ yy +(iz f* r n e aßtcoa fr+aytsinfrcoaxp+adtainfr sin^ BinjW|W 
j 0*^ 0 
oder: 
u - p [' i7T M t e ß t x+at cos# ) +y(jf+ «* sin * cos 10 + *(»+«* sin ^ sin, /0 S infrdfrdxp. 
Eine Summe von solchen Ausdrücken, in welchen ß, y, cf, M sich nach irgend 
einem Gesetze ändern, muss ebenfalls der partiellen Differenzialgleichung genügen. 
Da man aber jede Function von drei Variablen u, v, w in eine Reihe: 
2 M e ß u + y v + Jw 
nach dem Fourrier’schcn Satze verwandeln kann,, so kann man setzen: 
x-]\[ e ß Or-f-a icos >9-)4-y{y+ a f sin ,'f cos fr) -f- cf (s 4- a t sin # sin xp) 
= F[a - -)-«i cos fr, y + at sin fr cos xp, z + a t sin fr sin xp\, 
und man hat mithin: 
1 C n C 271 
u; 
l -^J J i sin fr dfr dxp F [x -j- a t cos .9-, y -f- a t sin fr cos xp, ssfi-ß isin 5-sin^//]. 
Der Factor hat den Zweck, zu bewirken, dass für t~ 0, ^ = F (x, y, z) werde, 
/ 71 7t 
I sin fr dfr dxp gleich 
o *7 o 
der Oberfläche einer Kugel mit Radius 1, also gleich 4u ist. Der gefundene 
Werth von u erfüllt also die zweite der Grenzbedingungen, während für i = 0, 
m = 0 wird. 
Kann man nun ein zweites Integral finden, welches für t = 0, u = f (x, y, %) 
du 
gibt, während — für < = 0 verschwindet, so wird die Summe beider Integrale offen 
bar beiden Bedingungen genügen, und also das allgemeine Integral sein. 
Diese Bemerkung, welche sich überhaupt auf lineare Differenzialgleichungen 
leicht anwenden lässt, gestattet gewissermaassen, die Grenzbedingungen zu theilen 
und so das allgemeine Integral aus einer Anzahl particulärer zusammenzusetzen. 
Ein solches zweites lutegral ist hier leicht zu finden. Denn wenn irgend ein 
Ausdruck unserer Differenzialgleichung genügt, so muss seine Ableitung nach t 
derselben auch genügen, wie man ersieht, wenn man diese Gleichung nach t 
differenziirt, und 
du 
setzt, wodurch man die ganz gleiche Form: