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gegeben sei, welche ebenfalls den Wärme 
zustand gibt. 
Da man sich den Körper, wie auch 
seine Gestalt sei, in unendlich dünne 
Prismen getheilt denken kann, welche 
von einem beliebigen Punkte der Be 
grenzung bis zu einem andern gehen, 
von denen der erste dem Werthe von « 
im vorigen Beispiel, der zweite dem 
Werthe ß entspricht, so muss u für alle 
diese « und ß, d. h. für die ganze Be 
grenzung gegeben sein, und wir haben 
also einen Satz, den wir gleich in sei 
ner Allgemeinheit hinstellten, da nur die 
Ordnung der Gleichung in Bezug auf x, 
y, z eine Bolle spielt: 
„Ist eine partielle Differenzialgleichung 
von vier unabhängigen Variablen abhän 
gig, die wir mit t, x, y, z bezeichnen, 
und denken wir uns der Veranschau 
lichung wegen unter x, y, z rechtwinklige 
oder andere Coordinaten, nehmen wir 
ferner an, die Gleichung sei nur inner 
halb eines völlig oder theilweise begrenz 
ten Baumes gültig, so ist die Function 
m, welche durch die Differenzialgleichung 
ausgedrückt wird, nur dann völlig defi- 
nirt, wenn man: 
1) die Function u von x, y, z kennt, 
welche dem Anfangswerthe von t, also 
z. B. i=0 entspricht; 
2) die Function u von x, y, z und t 
kennt, welche auf der ganzen Begren 
zung stattfindet, falls die Gleichung in 
Bezug auf x, y, z zweiter Ordnung ist. 
Ist sie nur erster Ordnung in Bezug auf 
diese Variablen, so reicht ein Theil der 
Begrenzung hin, ist sie von höherer Ord 
nung, so sind noch mehr Bedingungen 
nöthig. Diese Function u enthält übri 
gens nur drei Variablen, da zwischen 
x, y, z eine Gleichung, die der Oberfläche, 
stattfindet. 
Selbstverständlich ist, wenn die Glci- 
chung sich über einen begrenzten Flächen- 
theil erstreckt, die Linie, welche diese 
Grenze bildet, an die Stelle der eben 
betrachteten Oberfläche zu setzen. 
Aber die Schwierigkeiten, welche die 
Anwendung der partiellen Differenzial 
gleichungen auf Physik und Mechanik 
darbieten, sind hiermit noch nicht ganz 
erschöpft. Es kommt nämlich oft, z. B. 
in der Wärmelehre, wenn man die Aus 
strahlung der Körper berücksichtigt, vor, 
dass die der Gleichung genügende Func 
tion, welche auf der Oberfläche gegeben 
sein muss, nicht direct eingeführt ist, 
sondern durch eine andere totale oder 
partielle Differenzialgleichung bestimmt 
ist, die nnr eben auf dieser Oberfläche 
stattfindet. 
Diese der eigentlichen Theorie der 
partiellen Differenzialgleichungen aller 
dings nicht direct ungehörigen Bedin 
gungen machen die Aufgabe, selbst wenn 
es sich um lineare und einfache Glei 
chungen handelt, zu einer der complicir- 
testen der Analysis. Dennoch ist es 
Mathematikern wie Fourrier, Poisson, 
Lame und Andern gelungen, selbst in 
allgemeinen Fällen Lösungen zu finden. 
Wir verweisen hierbei namentlich auf 
die Artikel: Akustik, Schwingungen und 
Wärme. Dennoch wollen wir, ohne uns 
bei Speciellem zu verweilen, eine allge 
meine, von Poisson herrührende Betrach 
tung geben, welche das Verfahren ent 
wickelt , dessen man sich namentlich in 
allen Fällen, welche der Wärmelehre an 
gehören, ausserdem aber in vielen an 
dern mit Glück bedient hat, da es an 
gemessen scheint, diese rein analytische 
Betrachtung diesem Artikel, welcher die 
Theorie der partiellen Differenzialglei 
chungen bis zu einem gewissen Grade 
vollständig geben soll, einzuverleiben. 
Zum Schlüsse dieses Abschnitts be 
merken wir noch, dass die hier ange- 
stellten Untersuchungen recht geeignet 
sind, zu zeigen, welche wichtige Bolle 
die Begrenzungen und Anfangszustände 
in der Theorie der partiellen Differen 
zialgleichungen spielen. Es wird na 
mentlich die Natur der Function, welche 
eine solche definirt, ganz verändert, wenn 
man den Baum, über den sie sich er 
streckt, sich in seiner Begrenzung än 
dern lässt. — Diese Betrachtungen er 
strecken sich übrigens nicht bloss auf 
lineare Differenzialgleichungen, jedoch 
sind die übrigen sehr schwierig selbst in 
besondern Fällen zu lösen, wenn sie von 
höherer Ordnung sind. Die Behandlung 
eines besondern Falles der hydrodyna-