Quadraturen — Zurückf. auf. 599 Quadraturen — Zurückf. auf. 
mischen Gleichungen, welche von Di- 
richlet gefunden, und aus seinen hinter- 
lassenen Papieren von Dedekind mitge- 
theilt ist (Grelle, Band 58), gehört daher 
zu den schönsten und wichtigsten Resul 
taten dieser Art. 
22) Verfahren bei der Aullö- 
sung einer partiellen Differen 
zialgleichung, die den im vori 
gen Abschnitt untersuchten Be 
schränkungen unterliegt, in 
einem besondern Falle. 
Die von Poisson behandelte Aufgabe 
ist rein analytisch dargestellt die fol 
gende : 
Es sei gegeben die partielle Differen 
zialgleichung : 
c, k t , k 2 , k 3 sind Functionen von x, y, 
s. Die Gleichung ist sehr allgemeiner 
Art. Sie drückt die Bewegung der Wärme 
in einem nicht homogenen Körper aus. 
Wenn k t , k 2 , k 3 nicht gleich sind, so 
ist anzunehmen, dass der Körper nach 
den verschiedenen Richtungen sich un 
gleich gegen die Erwärmung verhalte, 
wie dies in den Crystallen der Fall ist, 
welche nicht dem glcichaxigen System 
angehören, x, y, z sind rechtwinklige 
Coordinaten. 
Der Anfangszustand ist gegeben durch 
die Gleichung: 
2) t = 0, u — F (x, y, z), 
wo F eine willkürliche Function ist. — 
Es müsste jetzt noch der Wärmezustand 
des Körpers auf der ganzen Oberfläche 
gegeben sein, um die Function u für den 
Körper völlig zu definiren. In der Na- 
tur aber tritt in der Regel statt dieser 
Bedingung die ein, dass von dem Körper 
aus Ausstrahlung in eine Gasart, also 
z. B. in die Atmosphäre, deren Tempe 
ratur man sich gegeben denkt, stattfin 
det, Diese Ausstrahlung ist bestimmt 
durch die Differenzialgleichung: 
, du „du . du 
3) * t _ cos« + K ^ cos ß + *3 §- # cos y 
+p(w—0 = 0, 
eine Gleichung, die sich nur auf die 
Oberfläche ertreckt, deren Gleichung: 
4) '/ (*, V, 0 = 0 
sei. In den Anwendungen ist sogar 
k l —k 1 —k 2 . C ist die Temperatur der 
Punkte, welche mit der Oberfläche in 
Wärmewechsel stehen. Es ist also im 
Allgemeinen £ eine Function von x, y, 
z und t, wo die Coordinaten wieder durch 
die Gleichung 4) verbunden sind. 
Es lässt sich aber in den Anwendun 
gen die allgemeine Lösung auf den Fall 
zurückführen, wo 
£=0 
ist, was wir hier annehmen. «, ß, y sind 
die Winkel, welche die Normale an die 
Oberfläche mit den Axcn macht. 
Das hier zu gehende Verfahren ist 
übrigens nicht von dem Umstande ab 
hängig, dass die Gleichung in Bezug 
auf t erster Ordnung ist, und schliesst 
sich, wie man leicht sehen wird, auch 
dem Falle an, wo statt der linken Seite 
der Gleichung 1) gesetzt wird: 
wo die Grössen c g nur von x, y, z ab 
hängig sein sollen. 
Der Charakter der Gleichung ist eben 
hauptsächlich der, dass sie in Bezug auf 
t linear , und in Bezug auf x, y, z von 
der zweiten Ordnung ist. 
Um zunächst ein particuläres Integral 
der Gleichung 1) zu haben, setzen wir: 
5) u—Pe A E , 
wo X eine willkürliche Constante, P eine 
Function von x, y, z ist. Durch Ein 
setzen in unsere Gleichung 1) erhalten 
wir dann: 
Diese Gleichung, welche nur drei unab 
hängige Variable enthält, ist zunächst 
aufzulösen. Wenn diese Gleichung in 
Bezug auf x linear ist, so kann man 
das eben angestellte Verfahren wieder 
holen, d. h. setzen: 
Pzze~f* 2x Q, 
wo Q nur von y und z abhängt. Die 
resultirende Gleichung würde also nur 
noch zwei unabhängige Variable enthal 
ten. Ist diese auch in Bezug auf y li 
near, so ist das Verfahren abermals zu 
wiederholen und man hat eine nur von 
z abhängige Function, die einer totalen 
Differenzialgleichung genügt, welche 
schliesslich aufzulösen ist. Dies Verfah 
ren findet immer Anwendung, wenn k L , 
k 2 , k 3 Constante sind, ausserdem aber 
in vielen Fällen, wo man durch Trans 
formation der Coordinaten x, y, z zu li-