Quadraturen — Zurückf. auf. 602 Quadraturen — Zurückf. auf. 
~ A l P l~ b Cu 2/> *)• 
In der That lassen sich die Coefficienten immer so bestimmen, dass dieser 
Gleichung genügt wird. 
Mnltipliciren wir nämlich beide Seiten derselben mit cP und integriren über 
den ganzen Körper, so kommt: 
also: 
12) 
fff- P^F(x, y, s) dx dy di — JSÄ^ fff- P^ P^dx dy di. 
rechten Seite aber fallen gemäss der Gleichung 11) alle Glied* 
ungleich sind. Man hat daher: 
./// 6 Pf* y* dy d z = Jff- P dx dy di, 
P ' ' ‘ 
fff- P^ F (x, y, z) dx dy di 
A i=‘ 
fff- Pj 2 dx dy di 
Es ist somit die Gleichung 1) derart gelöst, dass zugleich den Bedingungen 2) und 
3) genügt wird. 
Gleichung 6) gibt nämlich die Werthe von P als Functionen von 1, Gleichung 
7) die A selbst, Gleichung 12) die Coefficienten A., und 8) enthält dann den all 
gemeinen Werth von u. 
Wir sagten vorhin, dass nur die reellen Wurzeln der Gleichung 7) zu neh 
men sind. In der That lässt sich zeigen, dass diese Gleichung entweder keine 
imaginären Wurzeln enthält, oder dass dieselben doch in der Reihenentwickelung 
8) nicht Vorkommen. 
Denn da diese Gleichung 7) nur reelle Grössen enthält, so muss jedem ima 
ginären Werthe; 
X — d-pßh 
ein zweiter: 
A t = a—ßi 
entsprechen. Mögen hierzu gehören die Werthe: 
P k = Q+Ri, 
setzt man dieselben in die Gleichung 11 
fffc{Q'+R 
Da aber alle Elemente Q 2 -\- R 2 positiv 
sind, und dasselbe von c gilt, welcher 
Ausdruck die Dichtigkeit des betrachte 
ten Körpers vorstellt, und daher nicht 
negativ wird, so kann diese Gleichung 
nicht erfüllt werden, wenn nicht Q = R = 0 
wird. Es ,sind also imaginäre Werthe 
von A von vorn herein auszuschliessen. 
Eine Schwierigkeit hei diesen Betrach 
tungen macht eben nur der Umstand, 
dass die Convergenz der Reihenentwick 
lung 8) im Allgemeinen fraglich ist. 
Wenn der Beweis dieser Convergenz 
auch in einzelnen sehr wichtigen Fällen 
gelungen ist, so ist dies doch im All 
gemeinen bis jetzt nicht der Fall, eine 
Lücke, welche den so reichen Resultaten 
\ = Q—Ri; 
A i 
ein, so kommt: 
) dx dy dz — 0. 
dieser Theorie allerdings noch den Stem 
pel der Unfertigkeit aufdrückt. 
23) Beschränkung der Grenz 
bestimmungen durch Einfüh- 
rung von Stetigkeitsbedin 
gungen. 
Durch Beschränkung des Umfanges, 
über den sich eine gegebene partielle 
Differenzialgleichung erstreckt, wird die 
Anzahl der Grenzbestimmungen oder der 
willkürlichen Functionen vermehrt. 
Es kann dieselbe aber auch vermindert 
werden, wenn man gewisse Voraussetzun 
gen, z. B. über die Stetigkeit der ge 
suchten Function macht. — Wir geben 
von diesem Falle ein Beispiel, welches