Quadraturen — Zurück!’, auf. 605 Quadraturen — Zurückf. auf. 
V t =V+a 
+ 
/ d tc\ 3 /() w\ 1 
+ \dT/ 
dx dy dz, 
da das erste Integral verschwindet. Es kann nun entweder V=V t sein, oder 
einer dieser beiden Minimumswerthe V oder V t ist grösser als der andere. Wäre 
letzteres der Fall, und hätte man V L >V, so müsste, da auch u v ~u+aw einem 
Minimum entspricht, und: 
u—u L —aw 
gesetzt werden kann, in unserer Formel sich vertauschen lassen: 
a mit — a, V mit V u 
also: 
'= »'.+•’ +Gf)’J * d,J dz ’ 
was unmöglich ist, wenn nicht das Inte 
gral verschwindet, also V — V l ist. Fin 
det letzteres aber statt, so ist: 
div dw dw _ q 
dx dy dz ’ 
denn unter andern Umständen kann das 
wesentlich positive Integral nicht ver 
schwinden. Es wäre also u> eine Con- 
stante. w aber war, wie wir gesehen 
haben, auf der Oberfläche gleich Null, 
so dass w überhaupt verschwindet, und 
es mithin nur einen Werth von u gibt, 
welcher unsern drei Bedingungen genügt. 
Hiermit ist unser Satz bewiesen. Um 
demselben eine physikalische Deutung 
zu geben, so enthält er z. B. das Re 
sultat, dass ein Körper, welcher sich im 
Wärmegleichgewicht befindet, seinem 
Wärmezustande nach völlig gegeben ist, 
wenn derselbe auf der Oberfläche be 
kannt ist. 
Allgemein bemerken wir noch, dass 
diese Betrachtungen nicht voraussetzen, 
dass der Körper nur eine einfache Be 
grenzung habe. Es könnte derselbe z. B. 
auch eine Hohlkugel sein, oder sonst 
sich beliebig begrenzen. Diese Bemer 
kung gibt eine höchst wichtige Erwei 
terung unseres Satzes, die von Riemann 
herrührt (Grundlagen für eine allgemeine 
Theorie der Functionen, Göttingen, 1851), 
und welche sich auf die Fälle erstreckt, 
wo die Functionen u in gewissen Punk 
ten oder selbst Strecken oder Flächen 
stücken innerhalb des gegebenen Rau 
mes unstetig wird. Man kann dann 
nämlich diese Unstetigkeitsstellen sich 
von beliebig wenig von ihnen entfern 
ten, aber völlig geschlossenen Oberflächen 
umgeben, und so aus dem Körper her 
ausgenommen denken. Sind die Unste 
tigkeitsstellen Punkte, so werden diese 
Umgehungen kleine Kugelschalen sein 
können, sind es Strecken, so kann man 
dieselben mit geschlossenen Röhren oder 
Kanälen umgeben denken, und sind es 
Flächenstücke, so ist ihnen von beiden 
Seiten eine flache Bedeckung zu geben. 
Diese Begrenzungen kommen dann zur 
Oberfläche hinzu, und die Function u 
ist also nach dem Obigen völlig gege 
ben , wenn man ausser den drei Bedin 
gungen noch die vierte hinzufügt, dass 
sie auch an diesen neuen Grenzstücken 
bekannt sei, d. h, dass man weiss, wel 
chen Werthen sich die Function beim 
Uebergange an die Unstetigkeitsstellen 
von allen Seiten nähern soll. An allen 
übrigen Stellen ist die Function nämlich 
nun stetig. Unser Satz heisst also in 
seiner ganzen Allgemeinheit: 
„Eine Function ist innerhalb eines 
begrenzten Raumes bestimmt, wenn sie 
innerhalb desselben unserer partiellen 
Differenzialgleichung genügt, auf der 
ganzen Begrenzung gegeben ist, und 
wenn man die Werthe kennt, denen sie 
sich in denjenigen Stellen nähert, wo 
sie aufhört stetig zu sein,“ 
Dieser Satz gilt natürlich unverändert 
für die Gleichung: 
d 2 u d 2 M_ 
nur sind unter den Begrenzungen ge 
schlossene Linien zu verstehen. Geht 
man nun von der analytischen Bedeu 
tung dieser Gleichung aus, wie wir sie 
ohen hingestellt haben, dass sie also den 
reellen Theil einer Function von einer 
complexen Variablen darstelle, und ver 
binden wir damit die Gleichungen: 
dv du 
dx dy 
dv du 
dy ~ dx’ 
welche den imaginären Theil definirt, 
indem wir die Bemerkung machen, dass 
somit: 
du du 
dv — —aa;4- —- dy 
dy dx