Quadraturen — Zurückf. auf. 606 Quadraturen — Zurückf. auf. 
ist, und v durch Quadratur gefunden 
werden kann, wenn u bekannt ist, also 
nur eine willkürliche Constante enthält, 
welche bestimmt wird , wenn man v in 
irgend einem Punkte des begrenzten 
Ebnentheils kennt, wo Discontinuitäten 
jedoch ausgeschlossen sind, so kommen 
wir auf den von Riemann in der ange 
führten Abhandlung gegebenen Satz, wel 
cher in der Functionentheorie von der 
grössten Wichtigkeit geworden ist: 
„Stellt man sich unter x und y recht 
winklige Coordinaten vor, und will man 
eine beliebige Function /'(x-\-yi) für 
ein gewisses Gebiet untersuchen, welches 
wir uns als völlig (einfach oder mehr 
fach) begrenzt denken, so braucht des 
halb nicht die Function f für dies ganze 
Gebiet in jedem Funkte gegeben zu 
sein, vielmehr sind folgende Bedingun 
gen zu ihrer Bestimmung ausreichend 
und nothwendig; 
1) Der reelle Theil der Function muss 
für jeden Punkt der ganzen Begrenzung 
gegeben sein, und es kann dies auf eine 
ganz willkürliche, jedoch continuirliche 
Weise geschehen, 
2) der imaginäre Theil muss für ir 
gend einen Punkt des betrachteten Rau 
mes oder seiner Begrenzung gegeben 
sein, und kann hier einen willkürlichen 
Werth haben. 
3) Es muss angezeigt sein, in welchen 
Punkten die Function auf höre stetig zu 
sein, und welchen Werthen sie sich in 
diesen Punkten annähere.“ 
Eine Schwierigkeit in der Anwendung 
dieses Satzes könnte entstehen aus der 
Betrachtung, dass ja Functionen auch 
mehrdeutig sein können; fraglich 
werden dann die Werthe sein, welche 
man in jedem Punkte zu nehmen hat. 
Diese Schwierigkeit vermeidet Riemann, 
indem er sich bei mehrdeutigen Functio 
nen statt einer Ebene deren eben so 
viel übereinandergelegte denkt, als die 
Function Mehrdeutigkeiten hat. Diese 
Ebenen oder Blätter werden als von 
einander getrennt gedacht in allen Punk 
ten, wo die entsprechenden Werthe der 
Function ungleich sind, da wo dieselben 
gleich sind, aber als zusammenhängend. 
Ein solcher Zusammenhang fände also 
n 
bei der n deutigen Function y{x-\-yi) für 
den Werth x — y — 0, also im Anfangs 
punkt der Coordinaten statt. Die mehi-- 
deutige Function ist bei dieser Betrach 
tungsweise gewissermaassen zu einer ein 
deutigen gewoi'den, da jedem Werthe 
derselben für gegebenes x und y ein 
anderes Blatt entspricht. Zur Bestim 
mung derselben müssen die Grenz- und 
Unstetigkeitsbedingungen also auch für 
alle 2 Blätter, die hier betrachtet wer 
den, gegeben sein. (Vergleiche auch: 
Theorie der Abel’schen Functionen, von 
B. Riemann, besonders abgedruckt aus 
Crelle’s Journal, Berlin 1857; sowie hier 
den Artikel: Quantität.) 
24) Geschichtliche Bemerkun 
gen über die partiellen Diffe 
renzialgleichungen höh er er Or d- 
n un g. 
Wir haben oben einige Worte über 
die Geschichte der partiellen Differen 
zialgleichungen gesagt. Es soll dies hier 
noch in Bezug auf die höherer Ordnung 
ergänzt werden. 
Dass die Integrale der partiellen Diffe 
renzialgleichungen überhaupt willkürliche 
Functionen enthalten, hat zuerst d’Alem 
bert bei Behandlung der Gleichung der 
schwingenden Saite: 
d 2 ii d 2 u 
dl 2 a dx 2 
gezeigt, deren Integral wir oben fanden: 
n z= f (x + a t) -f tp (x—a t). 
Früher kannte man nur specielle Auf 
lösungen dieser Gleichung. So einfach 
dies Resultat auch ist, so machte dessen 
Behandlung doch wegen der Grenzbe- 
stimmungen grosse Schwierigkeiten. Da 
die Saite nämlich begrenzt ist, so geben 
die Anfangszustände derselben nur ge 
wisse Theile der Functionen f und tp 
als willkürlich, im Uebrigen sind diese 
Functionen bestimmt, und man kann 
daher nicht in Bezug auf diese Aufgabe 
annehmen, dass f und y. für jeden Werth 
der Variable irgend einem vorgeschrie 
benen Gesetze folgen sollen. Bisher 
hatte man angenommen, dass zwei Func 
tionen, welche in einem gewissen Raume 
übereinstimmen, überhaupt identisch sein 
müssten. Später hat man bewiesen, dass 
sich durch bestimmte Integrale, Reihen 
entwicklungen u. s. w. leicht 2 Functio 
nen herstellen lassen, die in gewissen 
Räumen übereinstimmen, sonst aber ver 
schieden sind. So z, B. ist der Aus 
druck : 
J_ ffWdi 
2niJ A—z ’ 
wo das Integral sich auf eine beliebige 
geschlossene Linie erstreckt, A = M + i;i, 
z = x + yi, unter uv, au/rechtwinklige Co 
ordinaten verstanden werden, innerhalb 
des ganzen von dieser Linie begrenzten 
Raumes =f{z), ausserhalb desselben aber