Quadratwurzel. 
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Quadratwurzel. 
A = p 1 -f2p q - (p 4- q) 2 - q J , 
und folglich: 
p + q = Y(A + q 2 ). 
Sei die höchste Ziffer von A von 2s—Iter 
oder 2ster Ordnung, die von q 2 von 
n—Iter Ordnung, wo n positiv oder ne 
gativ ist, je nachdem diese Ziffer vor 
oder nach dem Komma steht. Die Aus 
drücke A und A+q 2 stimmen also in 
den ersten 2s—n bezüglich 2s — 1—n 
Ziffern überein, und sonach werden dies 
auch die beiden Quadratwurzeln YA und 
Y{A-\-q‘ l ) in den ersten 2s — n Ziffern 
übereinstimmen, wie wir oben gezeigt 
haben. 
Die höchste Ziffer von \A oder 
y[A + q*) ist ster Ordnung. 
1 . 1 
war < , also q< 
10” - 
10 2 
also die höchste Ziffer von q von der 
Ordnung ~ — 1, bezüglich jenach- 
A A 
dem n grade oder ungrade ist. Man 
hatte also, als man die abgekürzte Di 
vision begann, bereits s—oder s — “ö— 
A A 
Ziffern, und da eben so viel genaue 
Ziffern gewonnen werden können, als 
deren vorhanden sind, in welchen YA 
und übereinstimmen, d. h. 
2 s—n, „so kann man bei der abgekürz 
ten Division grade so viel genaue 
Ziffern der Wurzeln erhalten, als man 
deren vorher hatte“. In unserem Bei 
spiele sind in der That vier Ziffern auf 
die gewöhnliche Weise, vier durch Di 
vision gewonnen. 
„Hat das Quadrat 2 t oder 2t—1 ge 
naue Ziffern, so muss man also die 
halbe Anzahl von Ziffern der Wurzel, 
also t auf gewöhnliche Aid berechnen, 
und kann die andere Hälfte durch das 
abgekürzte Verfahren finden, wenn man 
diese Wurzel so genau haben will, 
als es die Genauigkeit des Quadrates 
gestattet.“ 
Auch selbst die abgekürzte Methode 
verlangt sehr lange und zwar an Länge 
immer zunehmende Divisionen, wenn man 
viele Ziffern verlangt. In letzterm Falle 
würden also andere Methoden anzuwen 
den sein, die aber besser heim allgemei 
nen Wurzelausziehen mitgetheilt werden. 
(Vergleiche den Artikel: Quantität.) 
Heber die Berechnung der Quadrat 
wurzeln durch Kettenbrüche vergleiche 
man den Artikel: Quadratische Glei 
chungen. 
6) Imaginäre Zahlen. 
Es ist somit dargethan, dass jede po- 
titive Zahl eine positive Quadratwurzel 
habe, welche sich entweder genau , oder 
bis zu einer beliebigen Grenze der Ge 
nauigkeit bestimmen lässt. Zu dieser 
Wurzel kommt noch eine zweite nega 
tive von gleichem absoluten Betrage. 
„Was nun die negativen Zahlen an 
betrifft, so können deren Quadratwurzeln 
weder positiv noch negativ sein.“ 
Denn sei: 
V(-a) = b, 
wo b eine positive Zahl ist, so wäre 
also: 
— n — b" 1 ; 
das Quadrat einer positiven Zahl kann 
aber nicht negativ sein. Auch wenn b 
negativ wäre, müsste sein Quadrat po 
sitiv sein, also ist auch hier die Glei 
chung —a — h 2 unmöglich. 
Der Ausdruck ]/—A bildet ein neues 
Element in der Arithmetik, und heisst 
imaginäre Zahl, während man die posi 
tiven und negativen als reelle Zahlen 
bezeichnet. 
Da alle Zahlen, welche aus der Ein 
heit durch Abziehen und Zuzählen, Ver 
vielfältigen und Theilen entstehen, posi 
tiv oder negativ sind, so gelangt man 
durch keine dieser Operationen mit reellen 
Zahlen zu den imaginären. Bei der An 
wendung auf Raum oder Zeitgrössen 
entsprechen sie also nie einem wirklichen 
Gegenstände, da man immer durch eine 
dieser Operationen von einer Grösse zu 
einer anderen gleichartigen gelangt. Je 
doch entstehen alle imaginären Zahlen 
durch dergleichen Operationen aus einer 
einzigen ]/— 1, die man auch mit i be 
zeichnet; nur muss dieselbe nöthigen 
Falls mit einer reellen Zahl verbunden 
werden. Der Ausdruck a b i, wo a und 
b reelle Zahlen sind, ist also der allge 
meinste in der Analysis vorkommende. 
Was die Rechnung mit dem Imaginären 
betrifft, so verfährt man so, als wenn i 
oder ]/—1 eine unbestimmte reelle Zahl 
wäre, indem man nur mit diesem Ver 
fahren die Gleichung verbindet: 
i* = —1; 
es ist nämlich nach der Definition: 
i* =(y—l) 2 = -l. 
So z. B. ist; 
y(-A) = y(i 2 A) = iyA, 
womit wenigstens für die Quadratwur 
zeln der negativen Zahlen dargethan ist, 
dass sie Vielfache von i oder y—1 sind.