Quadratwurzel. 
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Quadratwurzel. 
Ein Mehreres über die Natur und die 
Eigenschaften der imaginären Zahlen 
gehört nicht in diesen Artikel. (Man 
vergleiche den Artikel: Quantität.) 
Wir bemerken noch, dass wenn 
V(-i)=» 
gesetzt wird, eine zweite Wurzel von 
— 1 auch —i sein muss, da: 
(_i)i = (_!)* ii = _l 
ist, und eben so gibt es zwei Wurzeln 
von einer beliebigen negativen Zahl — A, 
nämlich +i\A und — i^A. 
„Die negativen Zahlen haben ebenso 
wie die positiven 2 Quadratwurzeln.“ 
Es entsteht aber jetzt die Frage, wie 
man aus einer imaginären Zahl die Qua 
dratwurzel finde. Die Beantwortung 
derselben gehört in die Theorie der all 
gemeinen Wurzelausziehung und Potenz 
rechnung. Jedoch kann einiges Elemen 
tare darüber schon hier gegeben werden. 
Sei: 
|/(n -f- b i) = c -f- d i, 
wo a, h gegebene reelle Zahlen sind, 
c und d dergleichen, welche aber gefun 
den werden sollen. Erhebt man beide 
Seiten dieser Gleichung ins Quadrat, so 
erhält man: 
«-f-6i=(c-|-ffi) 2 irc a +2ccfi -\-d 2 i 2 , 
oder da: 
**=-1 
ist: 
a-\-bi — c 2 — d 2 +2c di. 
Da nun der reelle Theil rechts c 2 — d 2 
nur dem reellen Theile a links gleich 
sein kann, so zerfällt diese Gleichung in 
die beiden andern: 
a~c‘ —d 2 , 6 = 2 c d, 
welche zur Bestimmung von c und d 
dienen. Nach Elimination von d hat 
man: 
6 2 b 2 
a = c 2 —i—, d. h. c 4 — ac 2 ——, 
4c* 4 
woraus folgt; 
«*=|±| V(a’+6 a ). 
In ähnlicher Weise ergibt sich: 
b 2 
d* + ad 2 — —, 
also: 
Da c und d reell sein sollen, sind je 
doch nur die obern Zeichen der Wur 
zeln zu nehmen, im entgegengesetzten 
Falle würden nämlich offenbar c 2 und 
d 2 negativ, also c und d imaginär sein. 
Man hat also: 
c =±]/| + \ VV + 6 2 > 
i/= ±]/-| + |vV + 6 2 > 
Den neuen Wurzeln ist natürlich das 
doppelte Vorzeichen zu geben. 
Es fragt sich noch, welche Zeichen 
von c man mit denen von d combiniren 
müsse, da, wenn man sie beliebig ver 
bände, vier Werthe von y / (a-t-6i) sich er 
geben würden, während dieser Ausdruck 
doch deren nur zwei hat. Zu dem Ende 
gehe man wieder von der Formel: 
a-4- bizze 2 —d 2 +2cdi 
aus. Ist h positiv, so muss dies sonach 
auch mit cd der Fall sein, d. h. es 
müssen beide Wurzeln gleiche Zeichen 
haben; ist b dagegen negativ, so haben 
sie immer ungleiche Zeichen, und es ist, 
wenn jetzt b eine immer positive, a 
eine positive oder negative Zahl vor 
stellt : 
V(« + fti)=+ |Y| + i + ¿2) 
+i /“ I + \ vv + **)]’ 
V( <l ~ ii )=± []/| + \ yW+W) 
wo alle Wurzeln rechts mit dem positi 
ven Zeichen zu denken sind. 
Beispiel, Sei gesucht: 
V(5 + 12i), a = 5, 6 = 12, y(a’+6 2 
= yi69=13, 
also : 
y(5+12i) = ± [|/®+Ü + i 
= + (V9 + iV4), 
d. h.: 
V(5+12i) = 4- (3-f- 2 i), 
y(5-12i) = + (3-2i). 
7) Quadratwurzeln aus Buch 
stabenausdrücken, namentlich 
aus Potenzreihen. 
Irgend ein Buchstabenausdruck ist ein 
vollständiges Quadrat, wenn er aus einem