Quantität. 
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Quantität. 
a—a = 0, 
denn a entsteht ans 0 durch Ilinzufügen 
von a Einheiten. 
Die Zahl, von der abgezogen wird, 
nennen wir Minuendus, die abgezogene 
Zahl den Subtrahendus, das Resultat der 
Subtraction Differenz oder Rest. 
Das Suhtrahiren bezeichnen wir dem 
Addiren gegenüber auch als indirecte 
Operation. 
Eine Zahl, z. B. 4, kann von jeder 
andern abgezogen werden, vorausgesetzt, 
dass dieselbe mehr als 4 Einheiten ent 
hält ; also kann man diese 4 auch als 
abgezogene Einheiten für sich betrachten, 
indem man mit dieser Bezeichnung Zah 
len versteht, die der Thätigkeit des Sub- 
trahirens unterworfen werden sollen. 
Dergleichen Zahlen wollen wir negative 
nennen. 
Absoluten Werth einer negativen Zahl, 
z. B. —5, nennen wir die Anzahl der 
negativen Einheiten, also hier 5, die sie 
enthält. 
Wir erhalten über negative Zahlen 
sogleich unmittelbar aus ihrer Definition 
mehrere Sätze. 
Zunächst kann eine negative Zahl zu 
einer andern addirt werden, denn abge 
zogene Einheiten hinzufügen, heisst ja 
eben, sic ahziehen. Es ist also: 
4-|—3 = 4—3 = 1, 
imd allgemein: 
«-)—b = a—h. 
D. h. ; 
I. „Eine negative Zahl wird zu einer 
andern Zahl addirt, indem man ihren 
absoluten Werth ahzieht.“ 
Werden gewisse Einheiten abgezogen, 
z. B. 5, und dann eine andere Anzahl 
9, so hat man im Ganzen 5 + 9 Einhei 
ten abgezogen. Es ist also : 
-5+-9 oder —5—9= —(5+9) = —14, 
oder allgemein; 
— ci—b ^=—(ct~\-b')< 
II. „ Zwei negative Zahlen werden 
addirt, indem man die Summe ihrer ab 
soluten Werthc negativ nimmt.“ 
Man kann auch eine negative Zahl von 
einer andern positiven oder negativen 
ahziehen. 
Zu dem Ende bemerke man, dass 
—(—a) die dem Zusetzen oder Addiren 
von — a entgegengesetzte Thätigkeit, 
welche nach dem Vorigen also mit dem 
Setzen von a oder +a Einheiten iden 
tisch ist. Hieraus erhält man: 
-(-«) = + «• 
III. „Zwei negative Zeichen gehen ein 
positives.“ 
Es folgt hieraus leicht; 
-(-(-«))=-«, —(—(—(—«)))= +«, 
u. s. w. 
An diesen Satz lässt sich folgende 
Betrachtung knüpfen. 
Wird z. B. 5 zu irgend einer Zahl 
addirt und 7 abgezogen, wo also die ab 
gezogenen Einheiten die grössere Zahl 
bilden, so ist dies somit dasselbe, als 
wenn man —5 abzöge und —7 addirte, 
es sind also 7 negative Einheiten hin 
zugefügt und 5 negative Einheiten ab 
gezogen, d. h: 
5 —7=—(7—5)==—2, 
oder: 
a—h— — (b—a). 
Da im fiebrigen 7—5 = 2 ist, so hat man 
folgenden Satz: 
„Ist irgend eine Zahl von einer an 
dern abzuziehen, gleichviel ob die letztere 
die kleinere sei, so zieht man den absoluten 
Werth der kleinern von dem der grossem 
ab, und gibt dem Rest das Zeichen -f- 
oder — der grossem.“ 
Dieser Satz und Satz II. enthalten die 
Addition und Subtraction negativer 
Zahlen. 
Da das Suhtrahiren auf das Addiren 
negativer Zahlen zurückgeführt ist, so 
kann man von den erstem Operationen 
ganz absehen, wenn man an ihrer Stelle 
das Addiren negatizer Zahlen einführt. 
Die früher gefundenen, durch Addition 
aus der Null entstandenen Zahlen rvollen 
wir den negativen gegenüber jetzt immer 
als positive bezeichnen und ihnen das 
Zeichen + geben; aber Addiren und 
Suhtrahiren positiver und negativer Zah 
len haben wir jetzt folgende Regeln, die 
sich aus den Sätzen L, II., III. und IV. 
ergeben. 
V. „Jede 2 Zahlen werden addirt, 
a) wenn ihre Vorzeichen gleich sind, 
durch Zusammenzählen, indem man der 
Summe das gemeinschaftliche Zeichen 
lässt. (Dies ist für positive Zahlen 
selbstverständlich, und folgt für nega 
tive aus Satz II.) 
b) wenn ihre Vorzeichen ungleich sind, 
indem man die kleinere von der grösse 
ren abzicht und dem Rest das Zeichen 
der letzteren gibt (es ist dies in Satz 
IV. ausgesprochen).“ 
VI. „Eine Zahl wird von einer andern 
abgezogen, indem man ihr Vorzeichen 
ändert (minus in plus, plus in minus 
verwandelt) und dann addirt, also nach 
Regel V. verfährt.“