Quantität. 
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Quantität. 
möglichen Operationen zu thun hat, die 
von der hestimmungsloscn Einheit aus 
gehen, so kann man in ihr immer als 
Schlussresultat zu negativen Zahlen ge 
langen. Gleiches ist z. B. in der Me 
chanik der Fall, da dieselben hier wirk 
lich vorhanden sind. Dagegen wird etwa 
bei einer statistischen Rechnung aller 
dings mit negativen Zahlen gerechnet 
werden können. Das Schlussresultat, 
falls die Frage einer Antwort überhaupt 
fähig ist, wird aber eine positive Zahl 
sein, da nur solche Zahlen innerhalb die 
ser Wissenschaft überhaupt eine Bedeu 
tung haben. 
Der Begriff der negativen Zahl muss 
jetzt auch mit dem des Multiplicirens 
verbunden werden. 
Augenblicklich ist ersichtlich, dass eine 
negative Zahl mit einer positiven multi- 
plicirt werden kann. 
Wir fassten das Multipliciren nämlich 
als eine Wiederholung des Addirens auf. 
Es ist also z, B.: 
3x (—«) = —a-1 a-1—a~ — (a + a + «) 
= —3 a. 
„Eine negative Zahl wird mit einem 
positiven Multiplicator mnltiplicirt, wenn 
man das Product der absoluten Werthe 
negativ nimmt.“ 
Es fragt sich aber nach der Bedeutung 
des Multiplicirens mit negativem Multi 
plicator. 
Es ist dieselbe durch den Begriff der 
negativen Operation gegeben. 
Zu dem Ende bemerken wir, dass das 
von den Zahlen Gesagte allgemein gül 
tig auf die Thätigkeit des Rechnens 
selbst übertragen werden kann. Da also 
z. B. 5 + (—5) = 0 ist, so bedeutet das 
5 und das —5mal Nehmen einer Zahl 
soviel als das gar nicht Nehmen dersel 
ben, und es ist also: 
5•a+(—5)• a = 0 oder: (—5) • a — —5«. 
Verbindet man diese Betrachtung mit 
der vorigen, so kann man auch zwei 
negative Zahlen multipliciren. Es ist 
nämlich nach der letztem Betrachtung: 
(-5) • (—«)=—(5- (—«)), 
und da nach der erstem: 
5 • (—a)=—5 • a 
ist; 
(—5) • (—a) = —(—5 n) = 5 a. 
Aus diesen Sätzen folgt der allgemeine: 
IX. „Zwei Zahlen, positive oder ne 
gative , werden multiplicirt, indem man 
ihre absoluten Werthe multiplicirt, und 
dem Product das positive oder negative 
Zeichen gibt, je nachdem beide Zahlen 
gleiche oder entgegengesetzte Vorzeichen 
haben.“ 
Auch ergibt sich, da cs, abgesehen 
vom Zeichen, nur auf das Product der 
absoluten Werthe ankommt, die Ausdeh 
nung des Satzes III. Abschnitt 2) auf 
negative Zahlen. Dasselbe gilt von den 
Sätzen I. und IV. des nämlichen Ab 
schnittes. 
Man hat nämlich z. B.: 
3(a—6 + c—d) ■= a— 6+ c— d 
+ a— 6 + c— d 
+ a— 6+ c— d 
3 a—36 +3c—3 d 
und : 
-3 (a— 6 + c—d) = —(3a—36+3c—3d) 
— —3a+36 — 3c+3(/, 
d. h. Summen oder Differenzen werden 
mit negativen oder positiven Zahlen mul 
tiplicirt, indem man jedes Glied mit Be 
rücksichtigung seines Vorzeichens mit 
dem Multiplicator multiplicirt, und die 
Thcilproducte addirt. Satz IV. des Ab 
schnitts 2) ist hiervon die unmittelbare 
Folge. 
4) Vom Dividiren und von den 
Brü ch en. 
Wie dem Äddiren als indirecte Ope 
ration das Subtrahiren, so wird dem 
Multipliciren das Dividiren entgegen 
gestellt. 
Da also z. B. von 5 zur 20 durch 
Multiplication mit 4 übergegangen wird, 
so können wir von der 20 zur 5 durch 
Division mit 4 zurückgehen, oder : 
„20 durch 4 dividiren, heisst diejenige 
Zahl finden, welche mit 4 multiplicirt 
20 gibt.“ 
Das Zeichen der Division ist ein Quer 
strich oder 2 Punkte, also: 
90 
4-^-5, oder: 4• (20: 4) = 5, 
allgemein; 
a a 
Denn in welcher Orduung man die Di 
vision und Multiplication verrichtet, immer 
kommt man zu 6 zurück. Die zu divi- 
dirende Zahl 6 wird Dividendus oder 
Zähler, die dividirende Zahl Divisor oder 
Nenner, endlich das Resultat Quotient 
oder Bruch genannt. 
Eine Zahl, z. B, 50, welche eine an 
dere 5 als Factor enthält, heisst Viel 
faches derselben. Dividirt man das Viel 
fache 5 • 10 durch den Factor 5, so