Quantität. 
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Quantität. 
Hieraus ergibt sich auch leicht der 
Begriff des negativen Bruches. Da 
nämlich: 
ist, und dasselbe Resultat Null auch 
durch die Subtraction — %- — 0 ge- 
o o 
funden wird, so ist —%- und —iden- 
o o 
tisch. 
Wir kommen jetzt auf die Multipli 
cation und Division der Brüche. Setzen 
wir dieselben zunächst als positiv voraus. 
Wir haben aber folgenden Satz: 
II. „Ein Bruch bleibt ungeändert, wenn 
man Zähler und Nenner mit derselben 
Zahl multiplicirt.“ 
Offenbar ist, wenn man ^- — x setzt, 
o 
nach der Erklärung der Division a — bx, 
also auch an = bnx, und folglich: 
also: 
xc=yc und x=y, oder: 
a 
Tc' 
d. h,: 
IV. „Ein Bruch wird durch eine ganze 
Zahl dividirt, indem man den Nenner 
multiplicirt.“ 
Es kommt jetzt auf die Bedeutung 
derjenigen Multiplicationen an, deren 
Multiplicator ein Bruch ist. Wir erhal 
ten dieselbe, indem wir die Entstehung 
des Bruches aus der Einheit auf die 
Thätigkeit der Multiplication übertragen. 
Da — • b gleich Eins ist, so kann 
man sagen: 
„Die Thätigkeit, eine Zahl — mal zu 
b 
nehmen, h mal wiederholt, gibt die Zahl 
einmal.“ 
Es ist also: 
an a 
Tn~ X ~~b‘ 
Dieser Satz gilt natürlich auch umge 
kehrt, d. h.: 
„ Sind Zähler und Nenner Vielfache 
von n, so kann man beide durch n di- 
vidiren.“ 
Wie ein Bruch mit einer ganzen Zahl 
multiplicirt wird, ergibt uns die Formel: 
a 1 
T = a 'V 
es ist sonach auch: 
a.L-ah- — —— 
c c c ’ 
III. „Ein Bruch wird mit einer gan 
zen Zahl multiplicirt, indem man seinen 
Zähler multiplicirt.“ 
Sei jetzt ein Bruch mit einer ganzen 
Zahl zu dividiren. Sei: 
a 
T 
so ist: 
a 
— -XC. 
b 
Sei ferner: 
a 
T- e =y> 
a ac a 
~c' c =Vc = T =yC ’ 
und da auch: 
. . 1 . CI 
ist, so ist — • a mit — identisch, und 
o b 
es heisst a mit — multipliciren nichts 
anderes, als a durch b dividiren. 
Sei jetzt der Multiplicator ein Bruch 
mit beliebigem Zähler. Es ist: 
a 1 
T =a ‘T’ 
also: 
und ebenso: # 
a c _ 1 c _ c ab 
T'~d~ a ’ T "d~ a m bd~~bd‘ 
V. „Zwei Brüche werden multiplicirt, 
wenn man die Zähler und die Nenner 
multiplicirt. 
Tritt an die Stelle eines Bruches eine 
ganze Zahl, so ist ihr der Nenner Eins 
zu geben. 
Die allgemeine Regel des Dividirens 
mit Brüchen folgt aus der Definition des 
Dividirens selbst. Es ist nach derselben; 
a c\ c _ a 
b ’ d) d b' 
Andererseits aber auch: 
so ist;