Quantität. 
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Quantität. 
also: 
l/-= & 
y k 
Offenbar nämlich ist nach dem Vo 
rigen ; 
mp 
1/ *' 
ya 
Namentlich ist auch: 
m I p \ 
= V (W* 
P „ 
also: y« r 
VII. „ Aus einem Bruche wird eine 
Wurzel ausgezogen, indem man die ent 
sprechende Wurzel des Zählers durch die 
des Nenners dividirt.“ 
Für die Operationen des Wurzelaus- 
ziehens und des Potenzirens, wenn sie 
nach einander mit derselben Zahl ver 
richtet werden, merke man noch den 
Satz: 
VIII. „Potenziren und Wurzelauszie- 
hung kann in beliebiger Ordnung ver 
richtet werden.“ 
In Zeichen heisst dieser Satz: 
\a m P =«P. 
Es ist dies die Anwendung des letz 
ten Satzes auf den Fall, wo der Wur 
zelexponent ein Factor des Potenzexpo 
nenten ist. In gleicher Weise hat man 
aber auch, wenn das Umgekehrte statt 
findet : 
m P m V 
\a m = \a, 
Schreibt man in der Formel: 
u)P = na P ), 
Offenbar ist nämlich: 
und auch: 
(v« p )“=(v«)" p =» 1 '. 
somit also diese beiden Ausdrücke mit 
n 
~\ciP und also einander gleich. 
Mit diesem Satze verbinden wir fol 
genden, der auf wiederholtes Wurzelaus 
ziehen geht und sich dem Satze II. über 
Potenzen anschliesst. 
Es ist offenbar: 
ya" 1 ?’ 
so erhält man; 
mp — q, 
n P. 
ny«r=y«> 
und also: 
• Definition gi 
n (p \ np 
y[y{a)) = Ya, 
es ist also der Definition gemäss; 
oder: 
IX. „Eine Wurzel wird aus einer 
Wurzel ausgezogen, indem man die Wur 
zelexponenten multiplicirt.“ 
Ergänzt wird dieser Satz durch den 
folgenden, der sich wieder auf Poten 
ziren und Wurzelausziehen bezieht. 
X. „Haben eine Wurzel und ein Po 
tenzexponent derselben Grösse einen 
gemeinschaftlichen Factor, so kann der 
selbe weggelassen, gehoben, werden.“ 
D, h. in Zeichen: 
m Pmn Pn 
y« =y« 5 
n m 
y a 1 ~a . 
Hier steht im Potenzexponenten ein 
Bruch —, der jedoch nur der Form nach 
ein solcher ist, da — = », also gleich 
m 
einer ganzen Zahl ist. Untersuchen wir, 
ob Potenzen mit einem wirklichen Bruch 
als Exponenten noch eine Bedeutung 
haben. 
Wir wollen demnach in der Erklärung 
des Bruches —, wonach dies diejenige 
Zahl ist, die nimal genommen die Ein 
heit gibt, dem Begriffe der Einheit, wie 
wir Aehnliches schon öfter gethan, die 
Thätigkeit des Potenzirens substituiren. 
Da nun a nichts anders ist als die Ein 
heit wiederholt, und zwar smal mit a 
multiplicirt, so heisst die Potenz a —« 
bilden nichts anders, als die Einheit mit 
einer Zahl multipliciren, welche so be 
schaffen ist, dass wenn dies Verfahren 
wimal wiederholt wird, die Einheit ein 
mal mit a multiplicirt ist. Es ist also: 
m , , m, m 
« =a, oder: {a ) = a, 
m 
und da y(a) ebenfalls gleich ist, so 
ist a m nichts anders als die mte Wur 
zel au§ a.