Quantität, 
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Quantität. 
bei den Betrachtungen, welche diesem 
Artikel zu Grunde liegen, zu schreiten 
im Stande sind. 
Noch bemerken wir, dass die Begriffe 
der negativen und irrationalen Zahl schon 
den Griechen bekannt war, welche na 
mentlich durch geometrische Betrachtun 
gen auf sie geführt wurden. Die Theo 
rie der Potenzen, namentlich der ge 
brochenen und negativen gehört dagegen 
in ihren Anfängen den Arabern, in ihrer 
Vollendung erst der neueren Zeit, bis 
hinein in das vorige Jahrhundert, an. 
Namentlich hat das Verfolgen der Viel 
deutigkeit der Wurzeln und gebrochenen 
Potenzen lange Zeit die Mathematiker 
auf Irrwege geführt. 
Quantität (imaginäre). 
1) Entstehung der imaginären 
Zahlen. 
Indem wir an den vorigen Artikel hier 
zunächst anknüpfen wollen, erinnern wir 
daran, dass wir von der Einheit in dem 
selben ausgehend, und dieselben ver 
schiedenen Rechnungs - Operationen un 
terwerfend , nach und nach zu allen 
übrigen reellen Zahlen gelangten. Ein 
Nachweis ihrer Realität, dass sie also 
wirklich zur Erscheinung kommen, ist 
daimm unnöthig, weil alle diese Zahlen 
sich dem gänzlich bestimmungsloscn Be 
griffe der Einheit selbst jedenfalls un 
terordnen lassen. Auf diesem Wege 
fortschreitend, wird hier das Imaginäre 
entwickelt. 
Indess ist, wie doch vorläufig bemerkt 
werden muss, noch ein zweiter Weg 
möglich. Man kann, statt bloss die 
Einheit vorauszusetzen, von continuir- 
lichen Grössen ausgehen. Dann sind 
Brüche und Irrationalzahlen , wenn man 
die Continuität sich nach beiden Rich 
tungen ins Unendliche fortgesetzt denkt, 
auch die negativen Zahlen gegeben. 
Wie durch Erweiterung dieser Betrach 
tung zu dem Imaginären ebenfalls ge 
langt werden kann, soll der Verfolg die 
ses Artikels zeigen. 
Das Imaginäre verdankt seine Ein 
führung in die Analysis zunächst der 
Auflösung der Gleichungen, und zwar 
kann es auf die quadratischen Gleichun 
gen allein zurückgeführt werden. Schon 
die Auflösung der Gleichung: 
x 2 -f- a 2 =0 
führt auf die Form: 
x 2 =\{—a 2 ), oder: x—a.y—1, 
und man sieht leicht, wenn man einen 
dieser Ausdrücke in die gegebene Glei 
chung einführt, die darin vorkommenden 
Quadratwurzel gemäss der Definition so 
behandelt, dass (Y—a 2 ) 2 — — a 2 , und 
(}/—l) 2 = —1 gesetzt wird, die Glei 
chung identisch wird. Eben so führt die 
Auflösung der quadratischen Gieichung: 
x 2 + 2ax-{- 6 = 0 
zu der Wurzel: 
x= — « + y(« 2 — b), 
und es ist leicht ersichtlich, dass, wenn 
b positiv und grösser als « 2 , also etwa 
a 1 — h——a 2 ist, man immer einen Aus 
druck erhält: 
x ——a + «y—1 =—a + y(—a 2 ), 
welcher in die Gleichung eingesetzt, und 
nach den gewöhnlichen Regeln des Rech 
nens mit der Maassgabe behandelt, dass 
y(—« 2 ) = «y—1 ins Quadrat erhoben 
— a 2 gibt, diese Gleichung identisch 
macht. 
Wir definiren daher eine imaginäre 
Grösse als die Wurzel einer negativen 
Zahl. Eine solche lässt sich immer zu 
rückführen auf den Ausdruck «y—1, 
worin a positiv oder negativ ist. Eine 
solche Grösse nennen wir jetzt im Ge 
gensatz zu den imaginären reelle Grössen. 
Den Ausdruck « -J— « — 1, der sich beim 
Auflösen der allgemeinen quadratischen 
Gleichungen ergibt, nennen wir complexe 
Grösse. Er besteht aus einer reellen und 
imaginären Grösse, die durch das Addi 
tions- (oder Subtractions-) Zeichen ver 
bunden sind. Bezeichnen wir noch den 
Ausdruck y —1 durch i, so ist ai der 
Ausdruck für eine imaginäre, n + ßi für 
eine complexe Grösse, und der Defini 
tion gemäss ist i 2 = —1. 
Die Nothwendigkeit, mit Imaginärem 
zu rechnen, und die Art, wie dies ge 
schieht, sieht man ohne Weiteres ein. 
Ist z. B. eine quadratische Gleichung 
mit Buchstaben-Ooefficienten, über deren 
numerische Werthe und Vorzeichen man 
mithin keine weitere Kenntniss hat, ge 
geben, so kann die Nothwendigkeit vor 
handen sein, dieselbe aufzulösen, und 
zwar in ihrer Allgemeinheit, während 
die Werthe erst gelegentlich specialisirt 
werden sollen. Man verfährt dann so, 
dass man nur diejenigen Sätze anwen 
det, welche sowohl für positiv als nega 
tiv ganze oder gebrochene Zahlen gleich- 
massig gelten; also z. B. dass man die 
Factoren eines Products vertauschen 
kann, oder einen gleichen Factor in Zäh 
ler und Nenner wechselt. 
Alle diese Sätze kann man anwenden 
und hat sie bereits angewandt, wenn