Quantität. 
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Quantität. 
(a ßi) (y + di) = ccy—ßd+i(ßy+ctd). 
Dies gibt folgenden Satz, der allerdings besser durch die eben hingeschriebene 
Formel als durch Worte ausgedrückt wird: 
III. „Das Product zweier complexen Zahlen ist gleich einer andern com- 
plexen Zahl, deren reeller Theil aus der Differenz der Producte der reellen und 
imaginären Theile, und dessen imaginärer Theil aus der Summe der Producte der 
imaginären Theile jedes Factors in die reellen des andern Factors besteht.“ 
Namentlich ist hiernach: 
i 3 = — i, i 4 = +l, i 5 =: i, i 6 = —1 . . . 
Auch hier findet also Satz II. des vorigen Abschnittes statt. Ebenso bei der Di 
vision. Denn es kann wenn wir i allgemein denken und den Satz an- 
y + ch 
wenden, dass Zähler und Nenner eines Bruches beide mit derselben, aber ganz 
beliebigen Zahl multiplicirt werden können, auf die Form gebracht werden: 
K+ßi _ (y— di) 
y+di (y+dij(y—di)’ 
und dies gibt nach vorigem Satze: 
(ccy + ßd)+(ßy—ad)i 
d. h.: 
IV. 
y 2 + cP 
cc-{- ßi _ ay + ad ßy — ccd . 
y+di y 2 + cP y* + cP 
Durch diese Formel ist das Dividiren mit complexen Zahlen völlig definirt. 
Grössere Schwierigkeiten macht die Definition des Potenzirens, des Wurzel- 
ausziehens und des Berechnens der Logarithmen von imaginären Zahlen. Da 
gegen führen aber auch diese Rechnungen zu den wichtigsten Resultaten. 
Wir werden zunächst mit Zuhülfenahme des Satzes I. des vorigen Abschnittes 
diese Operationen definiren. 
Es sind dazu jedoch einige Hülfsbetrachtungen nöthig. 
2) lieber Exp onent ia Igrö s s en mit reellen und imaginären 
Exponenten. 
Entwickeln wir die Grösse ^1 + 4-^ nach dem Binomialsatze, indem wir 
voraussetzen, n sei eine positive ganze Zahl. Es ergibt sich: 
(l_l) (!_i) (l-l) 
1 -2 
1-2* 3 
+ 
64) 64) • ■ ■ 6-4) 
1-2 
x + 
+x 
Mit wachsendem n wächst die Gliederanzahl dieser Reihe. Es wird behauptet, 
dass sie sich trotzdem einer gewissen, von n unabhängigen Grenze nähert, mit 
andern Worten, dass die Reihe convergiré, wenn n — cc wird. 
Eine bekannte Regel für die Convergenz ist die, dass der Quotient eines Glie 
des dividirt durch das Vorhergehende sich einer Grenze nähert, die kleiner als 1 
ist, wenn die Ordnung dieses Gliedes wächst (siehe den Artikel: Reihen). 
Es ist nun, wenn wir mit A das ste Glied bezeichnen: 
V. 64)64)•••6-4)64)« s+1 — 
1-2 
(•+«64)64)-6-V) 1 
d. h.: 
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