ner als n, also 1 ein echter Bruch, 
n 
s + 1 wächst über jede Grenze, so dass 
A s + i 
sich — 7 der Null nähert, was auch 
I} Iim i 1+ l) W ~ 1+a: + iT2 + i^ra + ' 
indem man die Grössen 
nachlässigt, da dieselben gegen 1 ver 
schwinden, so lange s gegen n unendlich 
klein ist, die Glieder aber, wo dies nicht 
der Fall ist, nach dem oben Gesagten 
auf die Summe der Reihe keinen Ein 
fluss ausühen. Da der Werth von 
lim unabhängig ist von n, vor 
ausgesetzt, dass man diese Grösse posi 
tiv ganz und ins Unendliche wachsend 
sich vorstellt, so ist unter dieser Bedin 
gung offenbar: 
Ist jetzt x = — ein beliebiger positi- 
tiver Brach, so gibt es immer unendlich 
viel Zahlen m, die so beschaffen sind, 
, m mv . 
dass — = —- einer ganzen Zahl gleich 
ist, man braucht eben nur m als theil- 
bar durch u anzunehmen. Lässt man 
nun in x— — Zähler und Nenner wachsen, 
v 
so kann man sich diesen Brach immer 
als bis auf eine beliebige Grenze mit 
einer gegebenen Irrationalzahl zusammen 
fallend denken, da eine solche ja immer 
die Form eines Bruches mit wachsendem 
Zähler und Nenner annimmt. Immer 
dann aber kann m so gewählt werden, 
— = s, —=—, m = sx, 
x m s 
wo x positiv aber beliebig und s unend 
lich gross ist. Also: 
lim ^ 1 + — ^ W = lim ^ 
=M i+ 4)?- 
Wir setzen nun: 
lim (h-“) 5 =«» 
wo e eine bestimmte Irrationalzahl ist, 
deren Werth sich aus Gleichung I) er 
gibt, wenn man daselbst ^- = 1 setzt, 
und man hat: 
II) e - 1 + 1 + i.2+1.2.3 
1-2-3-4 
oder durch numerische Berechnung: 
e = 2,718281828459 . . . 
III) lim (1+-^-/, 
also mit Benutzung von Formel I.: 
m«. •*=i+T+ra + nrä+- 
Sei jetzt x eine beliebige negative Zahl, 
so ist, wenn man x~—y setzt: 
Der Werth für den Ausdruck rechts er 
gibt sich aus Formel I., wenn man in 
y2 
derselben x mit —— vertauscht, wo 
rt 
durch, wenn n wächst, alle Glieder bis 
auf das erste verschwinden, und man hat 
daher; 
d. h.: 
lim ( 1 —-V^lim 
1 n) 
=llm ( 1+ i)' 
Um (l-|)“ = .~*'. 
Damit sind die Formeln III. und III a. 
auch erwiesen, wenn x negativ ist. Die-