Quantität. 
t>44 
Quantität. 
so ist auch : 
und: 
p < l + K+ g + ^±i)- a + 
+ U + 1>2 + 1(2 . 3 
+ 
(« + 
(a+ßY 
(?<l + «+/S+ TT2 —h x — 2 -73 
+ . . • 
Da nun die Reihen rechts convergiren, so müssen auch die für P und Q conver- 
giren. Denn die Convergenz einer Reihe besteht ja darin (siehe den Artikel: 
Reihen), dass die Summe aller Glieder von einem, dem sten, an mit wachsendem 
s verschwindet, und dies wird natürlich noch der Fall sein, wenn der absolute 
Werth aller dieser Glieder verringert wird. Nachdem also der Ausdruck e für 
complexes x vollständig definirt ist, bleibt es noch übrig, die Regeln des Po- 
tenzirens für diesen Ausdruck zu beweisen; denn da die Entstehung desselben eine 
andere als bei reellen Zahlen ist, fragt es sich, welche Sätze von Potenzen für 
solche Ausdrücke noch gelten. Während bei den vier ersten Operationen die Gül 
tigkeit der allgemeinen Gesetze für reelle Zahlen auch für die complexen einfach 
aus der Definition folgt. Die Gleichungen, welche diese Sätze ausdrücken, sind 
immer richtig, wenn man i als beliebige reelle Zahl denkt; es findet also auch 
Gleichheit zwischen den Coefficienten der gleichen Potenzen von i statt, und diese 
wird nicht aufgehoben, wenn man i 2 mit —1, also i 3 mit —i, i* mit -fl u. s. w. 
vertauscht. 
Für die Potenzen beweisen wir zunächst die Sätze: 
x 
x y x+y e x—y 
e e J = e J , — — e J , 
ey 
für complexe x und y. Man hat: 
•*'= (*+i)]*= te+i+S’* 
( Xy V n 
1+-"V) - .«+»(!+—.TL... )«. 
1 I X + ) ' n ( nJ r x + y)' 
n 
Diese Gleichung gilt für complexes x und y auch. Man sieht aber leicht, wenn 
man den Ausdruck: 
xy 
( U x y V» = e n+x+ y 
V ' n(n-\- x-\-y)J 
nach dem Satze lila, entwickelt, alle Glieder, bis auf das erste, welches gleich 
der Einheit ist, für wachsendes n verschwinden. Es ist somit: 
Was den Ausdruck — anbetrifft, so bemerken wir, dass die Betrachtungen, welche 
pV 
die 
Formel (l——V* = r— oder e ^~ — 
V n/ (l+£) a <‘ y 
~ ■— ergaben, auch für imaginäres 
eV 
y gültig sind, und somit hat man: 
x 
e x —y 
— — e. e. y . 
nach dem vorigen Satze: 
e e a — e 
so dass beide Formeln erwiesen sind.