Quantität. 
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Quantität. 
n— t 
n— l’ 
bis auf das erste sich der Null nähern. Es wird also « 0 r n mit zunehmendem r 
die Summe aller übrigen Grössen: 
n—l n—2 
a i r > « 2 1' 
’ n—1 ’ M 
überschreiten. Hieraus folgt mit Bezug auf Satz II., dass der Modul R von 
f(x) kleiner sein wird als die Summe: 
n . n- 
CC o r + «1 r 
und grösser als die Differenz: 
n 
«o r - 
also : 
n 
/ «— l , 
(«l r + 
+ ß ,r-\-cc , 
' M—1 n 
+««-l r+ “«)> 
Ä>r («0-— -71- 
-A 
wenn r hinreichend wächst. Die Eeihe in der Klammer nähert sich aber der 
Grenze a 0 , also: 
VI. „Der Modul einer ganzen Function von rc+ßi wird unendlich gross, 
gleichzeitig mit dem Modul von a+ßi selbst,“ 
E) Substitution der Wurzeln der Congruenzen an die Stelle 
der imaginären Wurzeln der Gleichungen. 
Sei wieder gegeben: 
f{x)-a Q x n + a x x n 
+ 
+ « .x+a , 
1 n— 1 rv 
so gibt es entweder reelle Werthe von x, welche die Gleichung: 
/•(*)=0 
erfüllen oder nicht. Im ersteren Falle kann die Anzahl dieser Werthe nicht 
grösser als n sein, und sie ist wenigstens 1, wenn n ungrade ist. Das erstere 
folgt daraus, dass, wenn x~a ein solcher Werth ist, f(x) durch x—« theilbar 
sein muss (siehe den Artikel: „Quadratische Factoren“), das letztere daraus, dass 
f{x) eine continuirliche Grösse ist, die für £ = -f ^ sich der Grenze « 0 o n , und für 
x=—q sich der Grenze —a 0 (> n nähert, wenn q wächst, also zwischen +co und 
—00 wenigstens einmal durch Null gegangen sein muss. — Dagegen hat die Con- 
gruenz : 
n*0=0 
immer Wurzeln, d. h. es gibt immer Werthe: 
x = a+ßi, 
welche sie erfüllen. Die Theorie der Wurzeln solcher Congruenzen ergibt sich 
dann aus den Sätzen: 
I. „Jede Congruenz von der Form: 
n*)=0 
hat immer n Wurzeln, und nie mehr.“ 
II. „Bezeichnen wir diese Wurzeln mit x, x L 
x^, so ist immer: 
f(x')Ba 0 (x-x 1 )(x-x a ) 
(x—x ). 
v w 
Diese beiden Sätze lassen sich ganz eben so beweisen, wie dies in dem Artikel; 
„Quadratische Factoren“ in Bezug auf die Formeln: 
f 0*0 = 0, f(x)~a 0 {x-x x ){x-x % ) 
(x—x ) 
K w