Quantität. 
Quantität. 681 
y n = n + ßi 
zu lösen. Setzt man; 
n = r COS (/’, ß=z rsin(/', 
so hat man: 
n _ a i 
V , 
oder auch, da: 
cos 2s Tr = 1, sin2sTr=0 
ist: 
y n =re ( f‘ i e- sni = re(v +2sn ') i , 
1 ('/’ + 2 S n) i 
Ueberall aber kann statt des Congruenz- 
zeichens hier das Gleichheitszeichen ste 
hen, wenn man, wie wir jetzt thun, statt 
der Werthe von y und y H immer ihre 
Reste denkt. 
Quantitäten — complexe — in ihrer 
Anwendung auf die Functionenrechnung. 
1) Einleitung. 
Es ist nothwendig, Ausdrücke von der 
allgemeinen Form f(a+ßi) zu unter 
suchen und die Gesetze ihrer Veränder 
lichkeit, also der Bildung ihrer Differen 
ziale und Integrale festzustellen. Nur 
indem man das Veränderliche sich com- 
plex denkt, ergeben sich die Gesetze 
der Functionenrechnung in einfachster 
und allgemeinster Weise. 
Die Betrachtungen, welche wir hier 
anzustellen haben, ersetzen also die Ele 
mente der höheren Analysis, d. h. die 
Differenzialrechnung, die man früher 
hauptsächlich nur auf reelle Zahlen er 
streckte; sie werden sich ferner auf Rei 
henentwicklung der Functionen, Eindeu 
tigkeit und Mehrdeutigkeit derselben er 
strecken müssen. 
Wir werden dabei das im vorigen Ar 
tikel Gegebene zu Grunde legen, und in 
Bezug auf die der Integralrechnung ent 
nommenen Betrachtungen auf den Ar 
tikel : „ Quadraturen (analytische) “ ver 
weisen. 
Nachdem im vorigen Artikel der Be 
griff des Imaginären in verschiedener 
Weise erörtert ist, brauchen wir keine 
bestimmte dieser Theorien zu Grunde 
zu legen. Immer aber werden wir uns 
geometrischer Veranschaulichungen der 
art bedienen, dass wir in der complexen 
Grösse z = x-{-y\~re* 1 uns x und y als 
rechtwinklige Coordinaten, r als Radius- 
Vector und (fi als Winkel desselben mit 
der Axe der x vorstellen. 
Legt man die in Abschnitt 1 bis 9 
des vorigen Artikels abgchandelte Theorie 
des Imaginären zu Grunde, so ist diese 
Betrachtung nur die Versinnlichung der 
Thatsache, dass die Grösse z = x-\-yi 
sich gleichzeitig mit a: und y ändert, 
also eine Veränderlichkeit nach zwei Di 
mensionen eintreten kann. Jedem Werthe 
von z entspricht dann ein Punkt in der 
Ebene A. 
Gleiches gilt, wenn man die Theorie 
der Congruenzen (Abschnitt 11 des vo 
rigen Artikels) dem Imaginären substi- 
tuirt, und ist dabei immer anzunehmen, 
dass jede Grösse mit ihrem Rest nach 
i 2 -f-1 vertauscht wird (siehe Ende des 
Abschnittes 11). Dagegen sind bei Zu 
grundelegung der Theorie der geome 
trischen Grössen (Abschnitt 10) diese 
geometrischen Betrachtungen der Theorie 
unmittelbar entnommen, und die Punkte 
und Linien, welche dabei Vorkommen, 
stellen die geometrischen Grössen wirk 
lich dar. 
2) Allgemeiner Begriff einer 
Function mit einer complexen 
Va riabl en. 
Unter einer Function von z: 
u = f(z), 
wo: 
z — x+yi 
eine complexe Grösse ist, verstehen wir 
zunächst eine Grösse von der Form p+qi, 
wo p und q reelle Werthe sind, die sich 
nach irgend einem Gesetze gleichzeitig 
mit x und y ändern. Im Allgemeinen 
wird also zu jedem Punkte A der Ebene, 
welche durch irgend einen Werth von 
x und y bestimmt wird (wir drücken dies 
in der Folge so aus, der Punkt A habe 
den Werth z — x+yi), auch wenigstens 
ein Werth von p und ein Werth von q 
gehören. 
Je nach der Beschaffenheit der Func 
tionen kann dieselbe für jedes x und y, 
also für die ganze Ebene oder nur für 
gewisse Theile derselben gegeben sein. 
Im letztem Falle sagt man, x sei be 
schränkt veränderlich. 
Man kann annehmen,dassman von jedem 
Punkt A, dem ein Werth der Function ent 
spricht, zu jedem andern B auf wenig 
stens einem Wege, d. h, auf einer Linie 
so gelangen kann, dass für jeden Punkt 
derselben die Function continuirlich 
bleibt. Denn was die Discominuitäten 
anbetrifft, so finden dieselben entweder 
in ganzen Flächenstücken , oder in Li 
nien, oder in Punkten statt. In den 
beiden ersten Fällen sind die Functionen