Quantität. 
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Quantität. 
für diese Theile nicht als definirt zu be 
trachten, die Variable ist also beschränkt 
veränderlich. Nur dann kann man auf 
continuirlichem Wege nicht von einem 
Punkte A nach В gelangen, wenn zwi 
schen beiden eine geschlossene oder nach 
beiden Seiten unendliche Discontinuitäts- 
linie, bezüglich ein Flächenstück, welches 
eine solche enthält, vorhanden sind. 
Dann sind statt einer Function zwei mit 
beschränkt veränderlicher Variable x an 
zunehmen , deren Gebiete von einander 
geschieden sind. 
Noch bemei'ken wir, dass es zwei Ar 
ten von Discontinuitätslinien gibt. Die 
Unstetigkeit findet entweder von Punkt 
zu Punkt der Linie, also auf derselben 
statt, oder heim Ueberschreiten der Li 
nie, auf beiden Seiten, wenn man von 
einem Punkt A auf einer Seite dersel 
ben zu einem benachbarten auf der an 
dern gelangt, während die Function auf 
der Linie selbst stetig ist. 
Wir reihen hieran einige Betrachtun 
gen, welche sich auf die geometrische 
Bedeutung gewisser analytischen Opera 
tionen beziehen. 
Allen reellen Werthen von 2, wo also 
у — 0 ist, entsprechen die Punkte der 
Abscissenaxe, den positiven die eine, den 
negativen die andere Seite derselben, 
allen rein imaginären Werthen, wo x = () 
ist, die Ordinatenaxe. Für 2 = 0, also 
x=z у-=±0, hat man den Anfangspunkt 
der Coordinaten. 
Setzt man: 
x-\-yi = re f f ®, 
so entsprechen alle Werthe, welche 
gleiches : 
г = У(ж»+у 2 ), 
also gleiche Radien-Vectoren haben, offen 
bar der Peripherie eines Kreises, dessen 
Mittelpunkt der Anfangspunkt der Coor 
dinaten, und wo r der Radius ist. Alle 
Werthe z, deren Modul p kleiner als r 
ist, entsprechen Punkten innerhalb die 
ses Kreises, alle Werthe, wo p grösser 
ist, Punkten ausserhalb desselben. Setzt 
man : 
2 — f< —M, 
wo « eine complexe Constante 
а = а+6г 
sein soll, so ist: 
u=zx—a+{y—b)i. 
Punkt и hat also die Coordinaten : 
x r — x—a, y'—y—b. 
Es sind dies die Coordinaten, welche 
man für 2 erhält, wenn man den An 
fangspunkt der Coordinaten, welche pa 
rallel mit sich selbst bleiben, nach Punkt 
« verlegt. Setzt man also: 
z = « + M, 
so entspricht dieser Substitution eine 
Verlegung der Coordinaten nach Punkt 
«. Ist ; 
also: 
2 = «-f-pe , 
so ist: 
Qe &l = (x-a)+i(y-b), 
also: 
Q 2 =(x-ay+(y-b)\ 
d. h. p stellt die Entfernung des Punk 
tes z vom Punkte a vor. Alle Punkte, 
welche gleiches p haben, liegen also in 
einer Kreisperipherie, deren Mittelpunkt 
et und deren Radius p ist. 
8j Eindeutige und mehrdeutige 
F uncti o n en. 
Von jedem Punkte a kann man zu 
einem andern Punkte b auf unendlich 
vielen Wegen in continuirlicher Weise 
gelangen, und jedem Punkte eines die 
ser Wege wird im Allgemeinen ein an 
derer Werth von f(z) entsprechen. Ist 
die Function eindeutig, so wird man 
schliesslich in Punkt b immer wieder zu 
demselben Werthe gelangen, welches 
auch der eingeschlagene Weg sei, da für 
jeden Punkt die Function ja nur einen 
Werth hat. 
Bei eindeutigen Functionen kommen 
also nur die Discontinuitäten in Betracht. 
Discontinuitätslinien kommen bei der in 
den Elementen betrachteten Function 
nicht vor, und haben wir uns zunächst 
auf Discontinuitätspunkte zu beschrän 
ken. Dieselben thcilen wir in zwei Gat 
tungen, deren erstere solche Punkte um 
fassen soll, in deren Umgebung die 
Function immer unendlich bleibt. Ein 
solcher Punkt ist z. B. für die Function 
tgx der Punkt x = da man immer 
hat: 
also für unendlich kleines v: