Quantität. 683 Quantität. 
es sei nun v reell oder imaginär. Die 
Discontinuitätspunkte erster Gattung ha 
ben also die Eigenschaft, dass wenn 
f{x) für x = a einen solchen hat, die 
Function für x — a verschwindet 
f y) 
und continnirlich bleibt. 
Discontinuitätspunkte zweiter Gattung 
nennen wir diejenigen, in deren Umge 
gend die Function wenigstens nicht im 
mer unendlich wird. Dergleichen sind 
1 
für die Function e x der Punkt x = 0, 
dafür einen positiven Zuwachs von x 
l 1 
e x =ix>, für einen negativen e x =0 ist. 
Man kann auch eine eindeutige Function 
finden, welche in einem beliebigen Punkte 
« von einem gegebenen Werthe a nach 
einem andern b überspringt. Eine solche 
ist z. B.: 
l 
— e x ~ a 
f(x) = a+(b—a)e 
Ist v positiv und unendlich klein, so hat 
man offenbar: 
/■(«4-1/) = «, /'(«■—r) = b. 
Mit diesem Sprunge ist jedoch die Dis- 
continuität der bezeichneten Function 
nicht erschöpft. Sei der Zuwachs =»/-(-9i, 
wo v und & unendlich klein und v auch 
positiv sein soll; dann hat man ; 
l v—9i 
v-\-9i v 2 -(-# 2 c/ .. . 
e —e —a (cos q—i smp), 
wo S und q unendlich grosse positive 
Grössen sind. Dagegen ist: 
l —v—9i 
e -y+M_ e r*+9i*_ 0 
Man hat also immer: 
f {«—v+9i)zzb. 
Was den Ausdruck f(a-\-u+9i) anbe- 
trifft, so sind folgende Fälle zu unter 
scheiden : 
A) Das unendlich grosse positive, 
sonst beliebige q ist kein ungrades Viel 
faches von ^ und liegt im ersten, vier- 
ten, fünften, achten u. s. w. Quadranten. 
Dann ist S cos q positiv unendlich, und: 
f («+y= 
B) q ist kein ungrades Vielfaches von 
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g, liegt aber im zweiten, dritten, sechs 
ten, neunten u. s. w. Quadranten. Dann 
ist -S cos o negativ, und wie leicht zu 
sehen: 
f (« + v -f 9i) = P + Qi, 
wo P und Q beliebige reelle Zahlen 
sind, die auch unendlich gross sein 
können. 
C) q ist ein ungrades Vielfaches von 
f, also: 
cosp = 0, sinp=+l; 
dann ist f(a+y + {H) ebenfalls gleich 
P+Qi. 
Die Discontinuität ist also derart, dass 
in der Nähe des Punktes « die Function 
alle Werthe annimmt. Es wird später 
gezeigt werden, dass in der Nähe eines 
Discontinuitätspunktes zweiter Gattung 
eine eindeutige Function wenigstens ein 
mal unendlich gross werden muss. 
Was nun die mehrdeutigen Functio 
nen anbetrifft, so kann man in der That 
auf zwei Wegen mit verschiedenen Wcr- 
then der Function von a nach b gelan 
gen. Die Function möge in einem be 
liebigen Punkte s die Werthe f l (z) und 
f 2 (z>) haben, so ist es möglich, dass, 
wenn man von Punkt a nach b auf zwei 
verschiedenen Wegen fortschreitet und 
beide Male mit demselben Werthe von/^«) 
beginnt, man auf dem einen zur Func 
tion f L (6), auf dem andern zu f 2 (6) ge 
langt. Sei z. B. gegeben f{z) — yz, 
eine Function, welche für jeden Werth 
von z zwei entgegengesetzte Werthe hat. 
Beginnen wir mit einem Punkte der 
Abscissenaxe, der den reellen Werth a 
hat, und geben wir der Function für 
z~a den positiven Wurzelwerth. Sei 
b——a, also ebenfalls reell. Ziehen wir 
jetzt vom Anfangspunkte O aus (Fig. 62) 
Fig. 62. 
mit Radius Oa einen Kreis, und gehen 
einmal auf dem Wege, der durch den 
Halbkreis ach bezeichnet wird, dann auf 
dem Wege adb von a nach h über. — 
Es ist für irgend einen Punkt dieser