Quantität. 
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ken, deren jede einem Werthe von f(x) 
entspricht. 
Es lässt sich nun für jeden Punkt 
eines der Blätter der Gang der Function 
in folgender Weise veranschaulichen. 
Man denke zuerst die Windungspunkte 
auf denjenigen Blättern, zu welchen sie 
gehören, verzeichnet; von jedem Win 
dungspunkte aus eine Linie, z. B. eine 
Grade, jedoch nur nach einer Richtung 
und s o gezogen, dass sie über keinen 
Windungspunkt hinausgeht, also entwe 
der ins Unendliche, so, dass sie dadurch 
keinen zweiten Windungspunkt enthält, 
oder eine endliche Linie vom ersten 
Windungspunkt bis zum zweiten, eine 
andere Linie vom dritten bis zum vier 
ten u. s. w. Zieht man nun von einem 
Punkte b der vom Windungspunkte a 
ausgehenden Linie eine in sich zurück 
kehrende Curve um a herum bis wieder 
nach b, so wird, wenn man mit f t (6) 
begann, man in b mit f 2 (5) zurückkeh 
ren, wo f v (b) ungleich f 2 {b) ist. 
Es wird also auf beiden Seiten dieser 
Linie Discontinuität stattfinden. Diese 
Linie nennen wir Verzweigungslinie. 
Geht man nun ein zweites Mal um a 
herum von b nach b, also diesmal mit 
f\ (6) beginnend, so wird man mit f 3 (¿) 
oder auch, wenn der Punkt ein Doppel 
punkt ist, mit /j (6) zurückkehren, d. h. 
man muss annehmen, dass man beim 
Ueberschreiten einer Verzweigungslinie 
von einem Blatt ins nächste gerathe, 
dass also die Blätter in der Verzwei- 
gungslinie mit einander zusammenhän- 
hängen. Diese Darstellung zeigt auch 
sehr gut, wie man beim einmaligen Um 
kreisen zweier Windungspunkte dennoch 
auf den Anfangswerth zurückkommen 
kann. Z. B. wenn a und b Doppel 
punkte sind, A, B die zugehörigen Ver 
zweigungslinien; fängt man dann mit 
einem Punkte auf der äusseren Seite 
von A mit f L (x) an, so kann man bis 
B gelangen, ohne die Verzweigungslinie 
zu schneiden, dann schneidet man B, 
kommt also auf den Werth f 2 (x), end 
lich muss A geschnitten werden, was 
auf f l (x) zurückführt. 
Geht nach der zweiten Betrachtungs 
weise von a nach b nur eine Verzwei- 
gungslini'e, so ist es an sich klar, wie 
man, ohne diese zu schneiden, von a 
nach a zurückkehrt, wenn die Punkte 
nur Doppelpunkte sind. 
Es ist aber noch eine Bemerkung über 
den Werth x = cc zu machen. Diesem 
Werthe entsprechen auf der Ebene un 
endlich viel Punkte. Betrachtet man in- 
dess statt der Function f{x) die von 
y 
so 
ist für x = co : y —0, 
4# 
also nur ein Punkt vorhanden. Es hat 
aber gerade so viel Werthe als 
f{x). Man kann also auch, wie dies oft 
nützlich ist, nur von einem Unendlich- 
keits-, d. h. unendlich entfernten Punkte 
sprechen, und ist darunter derjenige zu 
verstehen, wo y — — = 0 ist. Dieser 
Punkt kann ein Discontinuitäts- und 
auch ein mehrfacher Punkt sein. Z. B. 
n 
bei der Function \x hat der Punkt x~<x> 
beide Eigenschaften, denn sowohl ist 
n 
n 1 
Vx — co, als 1/— =— ein «facher Punkt, 
\ y n 
! » ^ 
da — — Yv ein solcher ist. Dies Ver- 
n 
yx 
hältniss wird räumlich wiedergegeben, 
wenn man sich statt der Ebene eine Ku 
gel mit unendlich grossem Radius denkt. 
Die Verzweigungslinien gehen dann, wenn 
man von unserer ersten Betrachtung aus 
geht, von dem mehrfachen bis zum Un 
endlichkeitspunkte, nicht aber über den 
selben weg, da sie sonst zum Anfangs 
punkte zurückführen würden. 
4) Untersuchung der Werthe, 
welche eine mehrdeutige Func 
tion annehmen kann, wenn man 
von einem gegebenen Punkte 
und Werthe aus zu einemandern 
Punkte auf verschiedenen We 
ge n gelangt. 
Wenn man von Punkt a aus nach 
einem andern a! derart auf zwei Wegen 
geht, dass man mit demselben Werthe 
f v (a) beginnt, so kann man mit ver 
schiedenen Functionswerthen in a' an 
langen , wenn beide Wege Windungs 
punkte cinschliessen. Schliessen sie nur 
einen ein, so muss dies offenbar statt 
finden. 
Wir unterscheiden jetzt geschlossene 
Curven von in sich zurückkehrenden, 
unter den erstem solche verstehend, wo 
die Function f(z) in a mit demselben 
Werthe f L (a), mit dem sie ausging, nach 
a zurückkehrt, also in dasselbe Blatt 
wieder eintritt, unter den letztem solche, 
wo die Function bei der Rückkehr nach 
a in ein anderes Blatt tritt, also mit 
f 2 (a) zurückkehrt, W T enn sie mit f t (a) 
ihren Lauf begann. Sonach sind in sich 
zurückkehrende Curven geschlossen, wenn