Quantität.
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Quantität.
mit aufnehmen. Es wird sich bald zei
gen, dass alle in den Elementen vor
kommenden Eunctionen in der That mo-
nogen sind. Wir werden aber für alle
Eunctionen, die wir betrachten, dies vor
aussetzen.
Wir kommen jetzt auf Eigenschaften»
die den Eunctionen unter dieser Bedin
gung zukommen.
6) Vom Differenziire n mono-
gener Eunctionen.
Die folgenden Sätze gelten nur für
solche Eunctionen f(z), für welche der
Differenzialquotient eindeutig ist, oder
wenigstens für jeden Werth von f(z),
wenn f {z), mehrdeutig, nur einen Werth
hat. Sie gelten also für jeden complexen
Werth von z nur für monogene Functio
nen, dagegen für jede Function, wenn
dieselbe nur auf einer Linie betrachtet,
also der Werth von z — x+yi durch
eine zweite Gleichung y — (/ (x) beschränkt
wird. Dann nämlich ist:
df{z) _ Hm Ff{x + y) + i »(a + y)!
dz L v J
ebenfalls nur eindeutig.
Sei:
u= f(y)>
und:
V =?'(«).
so ist:
du _ f['f(x+y)]—f['i(x')]
dx ~ v
Aber:
f fl (x + y) = ff (x) + v,
also:
wenn man ff (x) wieder gleich y setzt, da es beim Differenziiren auf den Werth
des Zuwachses von ff (x), welcher hier y~ ist, nach unserer Voraussetzung nicht
ankommt. Also:
du _ du dy
dx dy dx ’
d. h.:
I. „Man findet den Differenzialquotienten nach x von einer Function von y,
wo y selbst eine Function von x ist, wenn man u nach y und y nach x differen-
ziirt und beide multiplicirt.“
Sei jetzt:
und möge aus dieser Gleichung folgen:
y = tf,(x),
so ist:
dx _ _ df(y) dy dx dy
dx dy dx dy dx ’
oder:
dx 1
dy- dy-
dx
II. „Der Differenzialquotient von x nach y ist der umgekehrte Werth des
jenigen von y nach x. (l
Es sei jetzt eine Function von mehreren Variablen f(x, y, z . . .) gegeben,
so ist:
df(x, y, z) = f{x+dx, y+dy, z+dz)—f{x, y, z)
= f(x + dx, y + dy, z+dz—f(x, y + dy, z + dz)+f {x, y + dy, z + dz)
~f(+, y, z+dz)+f (x, y, z+dz)—f(x, y, z)
_ df(x, y + dy, z + dz) dx d f(x, y, z+dz) df{x, y, z) &
dx dy “ dz ’
oder falls die partiellen Differenzialquotienten von f(x, y, z) für den betrachteten
