Quantität. 
Quantität. 
d(ay)_ a dy 
dx dx' 
VI. „Der Differenzialquotient des Products einer Function von f{x) mit einer 
Constanten ist gleich dem Producte der Constanten mit dem Differenzialquotienten 
der Function.“ 
Sei ferner: 
u = f{x)(f{x) xf/{x) , . ., 
so ist nach Satz IV. erst so zu differenziiren, als wenn f{x) und q (x), dann, als 
wenn f(x) und ip(x), dann, als wenn q(x) und xp{x) constant wären; also mit 
Berücksichtigung des letzten Satzes: 
- + 
oder wenn man; 
setzt; 
VII. 
f(x)=ZV 1, (/(x) = v 2 , y(x) = v s 
Aus dieser Formel lässt sich auch leicht 
der Differenzialquotient eines Quotien- se t z t; 
ten ableiten. Sei: 
also 
dx 
« = 1, v — w 
— = 
V 
so ist: 
U — VW, 
also: 
du 
dx 
dw dv 
v -—hie—, 
dx dx 
d. h.: 
die 
1 (du dv\ 
dx 
v \dx dx/ 
oder: 
VIII. 
4) 
du dv 
V fa~ U 7b; 
dx 
v 2 
Sei 
jetzt: 
d (w n ) _ 
dx 
—n— I dw 
dx ’ 
was mit Formel IX. übereinstimmt. 
Sei jetzt: 
also: 
P_ 
in — 01 ^ 
wo p und q ganze positive oder nega 
tive Zahlen sind, so ist nach IX.; 
und die Anzahl dieser Grössen gleich n, , 
so folgt für jeden ganzen positiven Werth a 80 ' 
von n: 
p — 1 dv _ q— l dio 
dr’ 
5=** 
dv 1 n— 1 dv 
— 71 V . 
dx dx 
Diese Formel gilt aber auch für belie 
biges n, denn sei: 
1 
v = —, 
w 
so hat man nach Formel IX.: 
dw 
dx 
p v 
<1 ir 
P- 1 
■1 dx 
d(w n ) _ 
dx 
-71-1 V«’/ 
Aber wenn man in VIII.: 
oder für w den Werth gesetzt: 
P P-i 
,, P q dv 
d^) = jv1 Tx , 
eine Formel, die ebenfalls mit IX. über 
einstimmt. Es gilt dieselbe auch noch, 
wenn man sich statt .der Irrationalzahl 
einen Bruch denkt, dem sie sich bis auf 
eine beliebige Grenze nähert. Unser Satz 
ist also nur noch für imaginäre Expo 
nenten zu beweisen, ein Gegenstand,