antität. 
unendlich viel Werthe 
ifferenzialquotient die- 
sutig. Es folgt dies 
iaraus, dass sich die 
the von lg y nur um 
beiden. — Sei nun n 
seile oder imaginäre 
nlgu 
C J 
*v~z 
z d\gv dv 
C n ~d^~d^ 
e z du 
= n— —• 
v dx 
L auch für complexe 
in. 
cponent veränderlich, 
xlga 
de Z di 
dz dx' 
dg «, 
x, 
— a lg a. 
IX a., X., XI. und 
merkung zu machen, 
wenn man die ent 
inen derart differen- 
ilich kleine Zuwachs 
ad einer durch x ge- 
in ganz beliebiger 
i wird. Da nun die 
renzialquotienten von 
aängig sind, so sind 
Functionen: 
Quantität. 701 
Quantität. 
n ax . / v x 
x , e , lg (x), a 
monogen. Dasselbe findet nach den 
Sätzen V. bis VIII. auch mit den Sum 
men , Differenzen, Producten und Quo 
tienten solcher Eunctionen statt. 
Es lässt sich aber auch zeigen, dass 
die Wurzel y jeder Gleichung/ 1 ^, y) — 0, 
wo f nur aus einer Verbindung von x 
und y mittels der sieben Grundoperatio 
nen entsteht, eine monogene Function 
sei. Es ist nämlich, da diese Gleichung 
für jeden Werth von x gilt, auch: 
«y(*» y)_ A 
dx ' 
denn setzt man : 
x = x+r, y=y x+v , 
so erhält man: 
if r [ * + ”’ 
*r 1,m l ; 
und beide Glieder des Zählers sind der 
Null gleich. Aber: 
df_ <V + 
dx dx dy dx 
d. h.s 
࣠
dy _ dx 
dx ~ df ’ 
dy 
und da Zähler und Nenner monogen 
sind, so wird dies auch mit ^ der Fall, 
dx 
also y monogen sein. — Diese Bemer 
kung, dass nämlich auf allen uns bis 
jetzt bekannten Rechnungswegen mono 
gene Functionen entstehen, rechtfer 
tigt es, wenn wir von jetzt an den Be 
griff der Function mit dem der Mono 
geni tät ohne Weiteres identificiren. 
7) Geometrische Darstellung 
der Bedingung, welcher die 
Functionen complexer Varia 
blen genügen. 
Sei jetzt: 
f(x+ yi) — u+iv, 
wo also u und v reelle Functionen von 
x und y sind. Es ist offenbar, wenn 
man zzzx-\-yi nach x und dann nach y 
differenziirt, also im ersten Falle y, im 
zweiten x constant denkt: 
d (x+yi) dz ^( x ~hyi) __ ^ z — i 
dx dx ’ dy dy ’ 
also: 
d f(*) 
dx 
df(z) dz 
dz dx 
=m 
also : 
dn*)_àf(z) 
dy dz 
i- if (z), 
«¥(*)•<¥(*) 
dy dx ' 
du ,dv_.du du 
dy dy dx dx’ 
also da der reelle und der imaginäre 
Theil einzeln gleich sein müssen : 
du du 
dy dx’ 
und: 
du _ du 
dy dx‘ 
Diese Bedingungen, welche zwischen 
dem reellen und dem mit i multiplicir- 
ten Theil von f{z) gelten müssen, sind 
nothwendig und ausreichend, damit die 
Function monogen sei. 
Wir wollen dieser Bedingung noch 
einen geometrischen Ausdruck geben. 
Ebenso wie wir uns früher eine Ebene 
gedacht haben, auf der jedem Werthe 
von z ein Punkt entspricht, dessen Co- 
ordinaten x und y sind, können wir uns 
eine zweite Ebene denken, deren ein 
zelne Punkte den Werthen von f(z) der 
art entsprechen, dass das zu f (z) gehö 
rige u und v bezüglich Abscisse und 
Ordinate des entsprechenden Punktes 
sind. Ist f(z) eine mehrdeutige Func 
tion, so wird jedem der n Blätter, auf 
welchem wir uns z denken, auch ein 
Blatt für f{z) entsprechen. Die Ebene, 
auf welcher die Punkte z dargestellt sind, 
wollen wir die erste, diejenige, auf wel 
cher f{z) dargestellt ist, die zweite Ebene 
nennen. Zu jedem Punkte z auf der er 
sten, gehört dann ein Punkt f(z) auf 
der zweiten Ebene. 
Fixircn wir jetzt drei Punkte auf der 
ersten Ebene, a, b und c, welche nicht 
in grader Linie liegen, und nehmen wir 
an, dass die Entfernung je zweier dieser 
Punkte verschwindend klein sei. Seien 
x, y die Coordinaten des ersten Punk 
tes a, x-\-dx, y-\-dy die des zweiten b, 
x-[-dx, y + dy die des dritten Punktes c. 
Die Entfernung ist dann bekanntlich: 
ab = \{dx* +dy"‘), 
die Entfernung: 
ac-y^dx" 1 + dy' 1 )