Quantität. 
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Quantität. 
d arcsin# _ 1 
dx ^(1—# 2 )* 
Es ist nämlich: 
cos y = y(l—sin y 2 ) = y(l—x' ). 
Sei ferner; 
ist; 
darctg# 
dx 
Da übrigens: 
also: 
dx 
dy 
arccos x—y, 
cos y~x, 
-siny und y-zz 
arc cot x - —— arc tg x 
ist, so hat man auch: 
d arc cot x 
1 
sin y 
dx 
1+# 2 
Noch ist: 
d. h. 
d arc cos x 
arc sec x=arc cos —, 
x 
dx 
V( 1-^)' 
also: 
Ferner: 
arc igx — y und tg y = x, 
dx _ 1 
dy cos y‘ 
und da: 
ty- COS7/ 1 
’ dx~ C0Sy ’ 
also 
cosy 2 = 
SGCy 2 1+tgJ/ 2 
1 
1 + # 2 
d arc sec x 
dx 
d arc sec x 
d — 
x 
dx ’ 
dx 
x\{x 2 -1/ 
d arc cosecx 
dx 
d arc sin — 
x 
dx 
also : 
d~ 
x 
dx ’ 
d arc cosec x 
dx #y(a; 2 — 1)’ 
Diese Formeln zeigen, dass sämmtliche Arcus zu Differenzialquoticntcn algebraische 
Functionen haben, welche nur eine Quadratwurzel enthalten. Die von arctg# und 
arc cot x aber sind sogar eindeutig, wie der Differenzialquotient eines Logarithmus. 
9) Höhere Differenzialquotienten. 
Die vorigen Betrachtungen rechtfertigen es, jeden Differenzialquotienten f r (x) 
als eine Function von x zu betrachten, denn es ist derselbe bis auf einzelne 
Punkte (oder höchstens Linien) continuirlich, und kann, falls die Function mono- 
gen ist, wie wir voraussetzen, keine höhere Mehrdeutigkeit haben als f(x), wie 
fix 1 [ j/\ 
dies augenblicklich aus dem Ausdrucke: lim — —folgt. Offenbar sind, 
v 
damit: 
d f( x ) = f( x + v)~f (x) 
in der That unendlich klein bleibt, wenn die Function mehrere Werthe hat, nur 
die entsprechenden Werthe f v {x-\-v) und f L (x) mit einander zu verbinden, da 
z. B. f 2 (x -f- y) und /, (#) einen endlichen Unterschied haben. Ausgenommen sind 
hiervon die mehrfachen Punkte, wo fi(x)=f 2 (x) wird, und in solchen kann man 
in der That setzen: 
f, _h (^+ , 0-/’ , -(f) oder 
V V 
Es wird also in einem solchen Punkt der Differenzialquotient im Allgemeinen 
auch einen mehrfachen Pnnkt haben, wenn auch: 
fi {x + y)=f{x+t')