Quantität. 
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Quantität. 
f)(f ö (f du 
dx du dx 
d (f. dv d <f' die 
dv dx ^ dw dx 
: 0, 
dip d x/j du ö ifj dv ^ 
dx du dx dv dx 
d\p die 
dw dx 
du dv dw 
zur Bestimmung von —, 
Die Differenzialquotienten nach y und 
z ergeben sich ganz ebenso, wenn man 
überall statt nach x, bezüglich nach y 
und z differenziirt. 
Die höheren Differenzialquotienten 
von r sind ebenso zu finden, wenn man 
dr dr dr . 
die Werthe von -r-, —) — unter der 
dx oy oz 
Berücksichtigung, dass r eine Function 
von u, v, w, diese Grössen aber von x, 
y, z abhängig sind, differenziirt, und 
ebenso mit den Differenzialquotienten von 
tf, \fj verfährt. 
11) Auffindung der Werthe 
einer Function, welche unter 
unbestimmter Form erscheinen. 
Unbestimmte Formen in der Analysis 
sind unter anderm die Ausdrücke g, 
—, da jede endliche Grösse « mitOmul- 
tiplicirt 0, und mit co multiplicirt co 
gibt. Es folgt also hieraus: 
«•0 = 0, oder « = g, 
Sei in ~~r für x = «: 
7 (») 
f (°0 — 7 («) = 0, 
so setzt man zunächst a-\-v für x, wo 
v eine beliebig kleine Grösse ist. Man 
hat dann: 
m _ /(«+*> 
7 ( x ) 9 («+")’ 
oder da man vom Zähler und Nenner 
die verschwindenden Grössen f(a) und 
if (it) abziehen kann: 
f («+v)—f(a) 
f( x ) y_ 
< f (x) (f> (a+y) —?■(«)* 
v 
Für Zähler und Nenner kann man aber 
ihre Grenzen für verschwindend kleines 
« schreiben, und hat für x — a: 
f( x ) _ f' ( f< ) - 
(j{x) <//(«)' 
Diese Formel ist immer anwendbar, wenn 
nicht f f («) und fff («) gleichzeitig Null 
oder unendlich werden. 
co 
« • CO = CO , ft = , 
co 
wo « ganz beliebig ist. Nehmen aber 
zwei Functionen von x, f(x) und y (x), 
für einen bestimmten Werth von x, gleich 
zeitig die Werthe 0 oder co an, so kann 
der Quotient doch mit keiner grösseren 
Mehrdeutigkeit behaftet sein, als sich 
aus den allgemeinen Werthen der Func 
tionen selbst ergibt. Sei z. B. gegeben 
der Ausdruck: 
x 2 — « 3 
x—a ’ 
so wird derselbe für x — u den Werth 
g annehmen. Denkt man sich indess 
zunächst x um ein beliebig Kleines von 
« unterschieden, und behandelt den Aus 
druck nach allgemeinen Regeln, wo sich 
dann ergibt: 
x 3 —ft 3 
=*+«, 
x — ce 
und setzt dann x = «, so erhält man den 
Werth 2« für unsern Bruch. 
Die Differenzialrechnung gibt ein 
Mittel, das hier angewandte Verfahren 
zu verallgemeinern. 
Beispiel. 
Sei gegeben: 
c/ \ x } x 
t \ x ) _ a 
ff (x) x ’ 
ein Ausdruck, welcher g wird für; 
x = 0. 
Man erhält: 
-rfl = a X \ga-b X \gb, 
7 (®) 
also für a; = 0: 
Ebenso ergibt sich für a; = l: 
lg» _ 1 _ 1 
x-l~ x ’ 
X— 1 
n 
x —1 
1 
n 
Es kann aber auch Vorkommen, dass für 
x = « zugleich: 
ff/ixr*