Quantität. 
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Quantität. 
da da dy dß dy ^ dß 
dx dy dx ' dx dx dy 
Sollen aber, wie hier vorausgesetzt wurde, 
Zähler und Nenner für jeden Werth von 
dy 
— der Null gleich werden, so muss 
dx 
+ 
<^y 
dx 2 ‘ 
_ 
dx 
d l 
dx 
W 
C( — ß — 0, 
verschwinden somit 
die mit 
Ist nun für ein bestimmtes Werthpaar 
»=«> y=ß- 
if _ y_ n 
dx dy ’ 
so findet Unbestimmtheit statt. 
und es 
d^\j 
-j-d multiplicirten Glieder. Werden Zäh 
ler und Nenner unendlich, oder alle 
Diffcrenzialquotienten derselben der Null Anwendung der allgemeinen Methode 
gleich oder unbestimmt, so versagt diese se t z t man dann: 
Methode ihren Dienst, und ist dann der 
Mit 
Fall direct zu untersuchen. 
Eine Unbestimmtheit tritt, wie schon 
früher beiläufig erwähnt wurde, z. B. 
in einem gewissen Falle dann ein, wenn 
y eine durch die Gleichung: 
f{x, y) = 0 
bestimmte Function von x ist. Man hat 
nämlich dann: 
dy 
dx 
*li + 
dx 2 dxdy dx 
d'f , d'fdy 
dxdy T dy* dx 
dy 
d_f ^f^y = Q 
dx dy dx ’ 
nochmals differenziirt. 
Man hat dann eine nach ~ quadratische 
Gleichung, welche gibt. 
dx 
Zu demselben Resultate gelangt man 
auch direct, wenn man die Gleichung: 
d J + *J<k = o 
ox dy dx 
Dies gibt nämlich: 
¿V, 2 ay dy d*i 
dx' dxdy dx dy* 
o y dx 2 
wovon jedoch das letzte Glied verschwindet, da: 
J-'=0 
oy 
war. Also: 
ay , g ay dy d>f/dyy 
dx 2 dxdy dx dy * \dx/ 
= 0, 
dxdy dx 1 di/ 5 
Wären auch alle zweiten partiellen Differenzialquotienten von f der Null gleich, 
also : 
ay ay _ ay_ ( 
dx 2 dxdy dy* 
so differenziirte man abermals. Es ergäbe sich, wenn man die der Null gleichen 
Coefficienten wegliesse: 
»n »‘f (W. !v/4V =0 
dx 3 dx 2 dy dx' dxdy 2 \dx) ' dy* \dx/ ’ 
also eine Gleichung dritten Grades. 
Allgemein, wenn alle Differenzialquotienten von f nach x und y bis inclusive 
zum n—Iten verschwinden, hat man: 
l f d n f dy i n{n—1) d n f 
d n f d' 
-+ n — 
dx' 1 dx 
'dy 
dx 
+ 
1-2 
dx‘ 
n— 2 
dy* 
rJ + 
h 
also eine Gleichung wter Ordnung, 
dy 
In diesem Falle gehören also zu einem Werthe von y, n Werthe von .