Quantität. 
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Quantität. 
14) Entwickelung der Functio 
nen in Reihen nach ganzen po 
sitiven Potenzen. 
Betrachten wir das Integral / 
J a—z 
zunächst ausgedehnt auf eine einfache 
geschlossene Curve, die keinen critischen 
Punkt der Function f(o) einschliesst. 
Das Argument wird dann nur für «—2 
discontinuirlich, also in dem von der 
Curve eingeschlossenen Raum dann nie 
mals, wenn Punkt s sich ausserhalb 
desselben befindet. Dann ist also: 
mod / F{if)d(f 
0 
< 2/r L. 
Da L mit abnehmendem q verschwindet» 
so findet dies auch mit: 
/ h 
•' 0 
F (7) df 
statt. Aber wenn man für: 
f(z+Qe fl ) 
seinen Werth setzt: 
/ 
• /■(«) 
dn = 0. 
/ (*) f(a) p‘ 
,271 
Befindet sich dagegen 2 innerhalb dieses 
Raumes, so kann man diesen Punkt mit 
einer beliebig kleinen geschlossenen 
Curve umgeben. Zwischen dieser und 
der gegebenen ist dann kein critischer 
Punkt mehr vorhanden. Bezeichnet man 
ri 2 ) 
also durch I das auf die 2 umge 
bende Curve bezogene Integral, so ist: 
/ 271 
F (7) df, 
0 
d. h. : 
1) 
/ 
0 )/■(«) 
da — 2nif{z). 
Es ist also: 
™ 1 r fist) da e , N 
2) sa/-i=r =№)l 
/ a—z J a—z — n 
Befindet sich endlich 2 auf der ersten 
Curve selbst, so ist offenbar / f - 
J a — z 
discontinuirlich, da der Nenner 0 wird. 
Wir haben hier ein Beispiel einer 
längs einer Linie discontinuirlichen Func 
tion. Sei jetzt die innere Curve ein 
Kreis mit abnehmendem Radius q, so 
ist das Integral in den Grenzen 7. = 0 
und rf — 2i zu nehmen, wenn man: 
-7» 
folglich: 
«=2-j-pe ( 
da = Qi e't 1 d>ft 
setzt, also: 
Sei ferner: 
f (2+p e't l ) — f (¿)-\~F (7 ), 
also F (7) eine Grösse, die sich mit ab 
nehmendem q der Null nähert. Sei fer 
ner L der grösste Werth des Moduls 
von F(7) für gegebenes q, also: 
p2n p2 71 
mod / F (7) dff < L mod / df, 
J 0 ./0 
d. h.: 
oder = 0, 
je nachdem 2 innerhalb der einfachen 
Curve liegt, auf welche die Integration 
sich erstreckt, oder ausserhalb derselben. 
Im erstem Falle können wir nun für 
diejenige geschlossene Curve, auf wel 
cher das Integral genommen ist, eben 
falls einen Kreis setzen, dessen Mittel 
punkt im Anfangspunkt der Coordinaten 
liegt, und dessen Radius r kleiner ist, 
als der Modul der kleinsten Grösse u, 
für welche f(u) aufhört, eindeutig und 
continuirlich zu sein. Es wird dann un 
ser Kreis keine Mehrdentigkeit oder Dis- 
continuität von f(a) umschliessen. Da 
2 innerhalb dieses Kreises liegt, so muss 
der Modul von 2 kleiner als der von « 
sein. 
Man hat nun: 
a — re'tda — rie't 1 , df=iad<f. 
Die Integrationsgrenzen sind: 
7 = 0, 7 = 2n, . 
also: 
1 /X«) •« d v 
-z 
2nJ 0 «— 5 
wo: 
111 
. — p of 
zu setzen ist. Da aber der Modul von 
« grösser als der von 2 ist, so hat man: