Quantität. 
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Quantität. 
und continuirlich, so wird dies auch mit III. „In demselben Kreise, wo f{z) 
und mithin mit allen Differenzial- sich nach ganzen positiven Potenzen von 
quotienten von /(s) der Fall sein.“ 2 entwickeln lässt, ist dies auch mit 
Das Letztere folgt nämlich, wenn man allen Differenzialquotienten von f(z) der 
den Differenzialquotienten f” (z) der end- Fall.“ 
liehen und continuirlichen Function f'(z) .. ,. , 
betrachtet u. s. w. Hieraus ergibt sich ^ ZU dlfferenznren fort > 80 
auch ; erhalt man : 
4) 
r w w= 
1-2 
2 ni 
—f: 
f («) du 
(«-2) T v. 
oder wenn man die Integration über denselben Kreis wie bei /'(5) erstreckt: 
{s) M _ 1 • 2 . ■ . s r 2n «/•(») d<f 
>/ r 
r\z) 
2 n 
also ; 
гЩo)= 
1 -2 . .. 
2л 
f 
0 («-2) S + 1 
271 /’(«) dtp 
— - А -1-2 
(Vergleiche Formel 8.) Somit kann man auch setzen: 
Я*) = А0)+Г(0)г+С^* а + Г 
(0) 
* 3 + 
5) , v-/ I . I V/' 1 P2 ' ’ 1.2.3 
die bekannte Maclaurin’sche Reihe. 
Entwickelt man f(j>) aus Formel 4), so kommt: 
r( .s 1 r 2n «/(«) d T 1 r**f(a)da _ / 2« 3« . \ 
0 («-.)• -2S/ 0 ~~~ -l 1+ T+^+ ■ • 1 
= ^4 l -f2^4 2 z+8H 3 . . . 
s A g i S 1 ist aber der Differenzialquotient von A g z s . 
„Die Reihe für f' (z) besteht also aus den Differenzialquotienten der von f(2).“ 
Dies ist. nicht selbstverständlich, da die Glieder ins Unendliche gehen.“ 
Setzen wir noch in die Formeln 3) und 5) für /’(z): f{u-\-x), so erhalten wir, 
indem wir f(u-{-x) als Function von x betrachten: 
f(u^-x) = A 0 -\-A l x-\-A 2 # 2 -f- . . 
oder wenn man wieder u-\-x = z setzt: 
6) 
wo man hat: 
oder: 
f(*) = A 0 +A l (s-m)-M 2 (z-m) 2 + . . ., 
~2nJ 0 
27 * f (tt+e) 
А = 
1-2 . .. s 
woraus sich dann ergibt; 
dff. а 
2Я f(u+a) 
а г 
:re f . 
! n n 
0 
Diese Entwickelungen sind gültig, so für gegebenes r eine Kreisperipherie ent- 
lange der Modul von x kleiner als der- spricht, deren Radius r und dessen Mit- 
jenige R ist, für welchen die Function telpunkt и ist, so hat man den Satz : 
f(u+x) discontinuirlich oder mehrdeutig IV. „Wenn и eine beliebige Grösse 
wird. Da nun dem Werth von: ist, und и kein Discontinuitäts- oder 
Windungspunkt, so lässt sich nach 
2 = м + ге^* ganzen positiven Potenzen von ¡5—и ent-