Quantität. 
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Quantität. 
wickeln innerhalb eines Kreises, der и 
zum Mittelpunkt hat, und dessen Peri 
pherie durch denjenigen Discontinuitäts- 
oder Windungspunkt geht, welcher и 
zunächst liegt.“ 
Da nun, sobald f{z) kein critischer 
Punkt ist, sich immer Punkte и finden 
lassen, deren Entfernung von z kleiner 
ist als die Entfernung von n und dem 
ihm nächsten critischen Punkte, so folgt 
daraus; 
V. „Jede Function f(z) lässt sich 
für alle Punkte mit Ausnahme der cri 
tischen in eine Reihe nach ganzen po 
sitiven Potenzen von z—u entwickeln, 
wo и eine Constante ist, die in gewissen 
Grenzen willkürlich ist. Diese Grenzen 
aber ändern sich, wenn die Variable ge 
wisse Grenzen überschreitet.“ 
Setzen wir auch in die Formel 1) 
f(u-\~x) für /'(г), so erhalten wir: 
1 rf(u+a)d(t 
f ^~27iJ а—г—гГ* 
Durch Differenziiren dieser Form er 
hält man : 
r 
, s 1_ Cf ( M + rc) da 
^ 2/1 i.J («—z—«)*’ 
und diese zeigt, dass der in II. bewie 
sene Satz auch auf solche Flächenräume 
gilt, die nicht, wie dies die ursprüngliche 
Formel verlangt, den Anfangspunkt der 
Coordinaten, sondern einen beliebigen 
Punkt u, aber keinen der critischen Punkte 
einschliessen. 
Aus diesen Betrachtungen aber leiten 
wir noch einen wichtigen Satz ab: 
VI. „Eine Function ist gegeben für 
alle Werthe, wo sie eindeutig und con- 
tinuirlich ist, wenn sie auf einer noch 
so kleinen Strecke, also auf einer end 
lichen Linie gegeben ist.“ 
Denn sei auf einer von A (Fig. 76) 
ausgehenden kleinen Strecke die Func 
tion F(z) gegeben, so ist: 
Fig. 76. 
F(A+u) = F{A)+uÇ^+ . . . 
Die Cocfficienten F(A), F' (A) . 
sind bekannt, da: 
V 
ist, und diese Ausdrücke gefunden wer 
den können, wenn man v auf der Strecke 
nimmt, wo die Function gegeben ist und 
die obigen Grenzwerthe aufsucht. Diese 
Reihe aber gilt für jeden Werth z = A-j-u 
innerhalb eines Kreises, der keinen cri 
tischen Punkt einschliesst und A zum 
Mittelpunkt hat. Sei nun der Werth 
von F(z) für den beliebigen, nicht cri 
tischen Punkt z = B zu ermitteln, der 
nicht von einer geschlossenen Curve um 
geben ist, aui welcher F (z) disconti- 
nuirlich ist. 
Man verbindet A mit B durch irgend 
eine Linie AB, die keinen critischen 
Punkt enthält (wie man dies ja immer 
kann), von einem Punkt derselben, wel 
cher noch innerhalb des um A gezoge 
nen Kreises liegt. Schlagen wir einen 
zweiten Kreis von gleicher Eigenschaft, 
von einem Punkt dieses letztem einen 
dritten u. s. w., so lassen sich diese 
Mittelpunkte immer nahe genug den 
Peripherien des vorhergehenden Kreises 
nehmen, dass B innerhalb des letzten 
dieser Kreise liegt. Sei « einer dieser 
Mittelpunkte, so gilt für jeden Punkt 
dieses Kreises die Entwickelung: 
F(z) = F(«) + F'(«)(*-«) 
F" («) 
+ 
1-2 
(*—«)'+• 
also auch für den Mittelpunkt des näch 
sten Kreises ß. Durch Differenziiren des 
Werthes: 
F(ß) = F (et) + F' («) (ß—a) 
F" («) 
1 • 2 
(¿-«) 3 + 
lassen sich dann F f (ß), F" (ß) . . . be 
stimmen , und die Entwickelung für den 
folgenden Kreis: 
F(z) = F(ß) + F'(ß)(z-ß)+ . . . 
ist also ebenfalls gegeben. Da nun 
F(A), F f (A) . . . für den ersten Kreis 
bekannt sind, so ergeben sich diese Rei 
hen für alle Kreise, und durch successive