Quantität. 734 Quantität. 
Entwickelung in Reihen kommt man so 
auf völlig eindeutige Art bis zu der, 
welche F(B) gibt. 
Aendert man den Weg AB, ohne die 
Endpunkte zu ändern, so kann die Ent 
wickelung, mit der man nach B kommt, 
offenbar eine andere werden, und dies 
muss der Fall sein, wenn beide Wege 
einen Windungspunkt zwischen sich ha 
ben, Immer aber ist durch die Strecke, 
welche von Ä ausgeht, und den Weg AB 
die Function in B völlig bestimmt. 
Wir knüpfen hieran noch einige Sätze 
von Functionen. 
Zunächst erinnern wir an den Ab 
schnitt 11) bewiesenen Satz., 
VII, „Wenn in irgend einem Punkte 
ci die Function discontinuirlich ist, so 
findet dies mit allen Differenzialquotien 
ten statt.“ 
F erner: 
VIII, „Ist der Differenzialquotient in 
« discontinuirlich, so findet entweder 
Gleiches mit der Function selbst statt, 
oder sie ist mehrdeutig.“ 
Denn sonst muss nach Satz II. um et 
herum der Differenzialquotient continuir- 
lich sein. 
IX, „In keinem noch so kleinen 
aber endlichen continuirlichen Raume, 
sei es Flächenstück oder Linie, kann 
eine Function constant sein, wenn sie 
nicht eben sich allgemein auf eine Con- 
stante reducirt.“ 
Denn fände dies z. B. in a statt, so 
wären alle Differenzialquotienten (Fig. 77) 
Eig. 77. 
von f(z) für Z — ce der Null gleich, also in 
einem Kreise um a die Function con 
stant. Zieht man nun aus ß innerhalb 
dieses Gebietes einen zweiten Kreis, für 
den Entwickelung nach Potenzen lür 
(z—ß) stattfindet, so ist auch f(ß) mit 
allen Differenzialquotienten der Null 
gleich, also auch in y innerhalb dieses 
Kreises die Function constant, so gelangt 
man , wenn die obige Ausnahme nicht 
stattfindet, mit constantem Werthe von 
f{z) nach einem beliebigen Punkte, und 
dies findet also für den ganzen oder den 
Raum statt, für welchen die Function 
definirt ist. 
Diese Schlüsse finden offenbar dann 
immer noch Anwendung, wenn für Punkt 
et alle Differenzialquotienten verschwin 
den. Also: 
X. „Für irgend einen Punkt «, wo 
die Function definirt ist, können nicht 
alle Differenzialquotienten verschwinden.“ 
XI. „Eine Function kann in keinem 
endlichen Gebiete unendlich oft Null 
werden, wenn sie daselbst eindeutig, con- 
tinuirlich und nicht der Null gleich ist.“ 
Denn sonst müssten die Nullpunkte 
schliesslich so zusammenzurücken, dass 
deren unendlich viel in der Nähe eines 
Punktes a lägen, und es wären dann, 
wenn man von einem ß zum nächsten 
ß + h ginge: 
f(ß) = 0, f{ß+h) = 0, 
also da h ins Unendliche abnimmt, in 
der Nähe von h, auch: 
lim fO* + *)r/W - f (fl = 0, 
h 
und Gleiches fände mit allen Differen 
zialquotienten statt. 
XII. „Es kann auch eine Function 
innerhalb eines endlichen Gebiets mit 
der in IX. enthaltenen Ausnahme nicht 
unendlich sein.“ 
Denn sei: 
/•(*) = QO , 
so ist: 
also constant. 
XIII. „Jede eindeutige Function nimmt 
wenigstens für einen Werth der Variable 
einen gegebenen Werth A an.“ 
Wir beweisen diesen Satz für A~oo 
zunächst. Sei M der grösste Werth des 
Moduls von f{z). Nun war: 
f.A 1*2... 
r\0)= 
2 n r 
n /»2 7t 
■ / f(r 
f n 
¿* l ) e~ n V 
d,. 
Ersetzt man das Argument durch M, so 
kommt : 
mod/'^(0)<l- 2...n—. 
il 
r 
Wird nun /■($) nie unendlich, so kann 
man r unendlich gross nehmen, und 
es ist: