Quantität. 
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Quantität. 
f( n \0) = 0, 
was auch n sei, was nach X unmög 
lich ist. 
Beweisen wir den Satz jetzt für be 
liebiges A. Man nehme: 
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so wird dieser Ausdruck, wie eben ge 
zeigt, für irgend einen Punkt « unend 
lich, also: 
= 0, f{a) = A. 
Noch erwähnen wir der Ausdehnung 
des Taylor’schen Satzes für mehrere Va 
riablen. 
Sei zu entwickeln: 
f{x + h, y + h). 
Denkt man y + k constant, so ist: 
f(*+h,y+k) = f(x,y + k)-\- ~ 
, ** d*f(x,y + k) t 
+ 1 • 2 dx* + * - •’ 
und wenn man jedes Glied nach Poten 
zen von k entwickelt: 
f{x, y+ *) = />, y)+k^+ . . ., 
wo man den Ausdruck im Exponenten 
zunächst sich als Zahl a denkt, und : 
/=! + « + 
1 • 2 
+ . . . 
entwickelt, wobei der polynomische Satz 
in Anwendung kommt. Man hat dann 
Glieder von der Form: 
A, ‘A, s 
dx^ 1 dx 3 s * . . . 
Diese Glieder sind schliesslich in ihrer 
Bedeutung als Differenzialquotienten auf 
zufassen. 
15) Betrachtungen über die 
Functionen reeller Variablen. 
Wir wollen jetzt voraussetzen, dass 
sowohl die Variable x als auch die 
Function f{x) reell sei. Der Zuwachs v 
ist dann immer als reell zu betrachten. 
Sei y positiv. Soll also f(x + y) grösser 
als f (x) sein, so muss man haben: 
f(x + y)-f(x\^ 
V 
Soll das Gegentheil stattfinden , so ist; 
f(x+y)-f(x) Q 
df(x, y + k) _ df d* f 
dy dx dxdy ‘ ‘ *’ 
d *ffa V + k ) 6 *f . /c d *f , 
da: 1 da; 1 dxdy *’ 
also: 
f(x+h, y + k) = f(x + y) + h d -t+k‘¥ 
h* d 1 /’ 2 h k d» f 
"^1 • 2 dx' 1 1 • 2 dxdy 
k 1 d y 
+ 1 -2 dy 
Diese Entwickelung gilt offenbar so 
lange, als die Moduln von h und k klei 
ner sind, als der kleinste, für den: 
f(x+h, y+A) 
eindeutig und continuirlich bleibt. 
Bei Functionen von mehr als zwei 
Variablen sind diese Schlüsse fortzu 
setzen. Man überzeugt sich dann sehr 
leicht von der symbolischen Formel: 
fOi+A|, * 2 +A s . . , x + h ) 
+ 
h ^. + K ^T. + 
. -f- h -— 
n ox 
n 
1 f (#1.) x % , , » X ), 
Da man aber den Ausdruck links mit 
f'(x) vertauschen kann, so hat man den 
Satz: 
„So lange f f {x) positiv ist, wird die 
Function f (x) mit wachsendem x eben 
falls wachsen, so lange f f (x) negativ 
dagegen abnehmen. Diese Bedingung 
ist nothwendig und ausreichend.“ 
Wenn f(x) vom Zunehmen zum Ab 
nehmen übergeht, sagt man, die Func 
tion habe ein Maximum, geht sie vom 
Abnehmen zum Zunehmen über, ein 
Minimum. 
Für den erstem Fall ist nothwendig 
und ausreichend, dass f' (x) vom Posi- 
sitiven zum Negativen, für den letztem, 
dass cs vom Negativen zum Positiven 
übergehe. 
Hierbei kann f{x) discontinuirlich 
werden , ein Fall, der besonders unter 
sucht werden muss. 
Bleibt f (x) continuirlich, so muss in 
beiden Fällen: 
V (»)=0 
werden. — Im ersten Fall (wo f (x) 
vom Positiven zum Negativen übergeht) 
ist hierbei f'(x) im Abnehmen, also 
f ,f (x) negativ, im letztem f f (x) im Zu 
nehmen, also f ,r (x) positiv. 
Es kann aber f{x)~0 werden, ohne