Quantität. 
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Quantität. 
d lg x 
dx 
1 = ^ii=+2 a; - 3 
dx 1 
dx* 
d S ]gx 
dx S 
also: 
= (-l) s_1 2-3...(<-!)* *, 
r. s + 1 
*(p+d=**+±-£.++(-?) ,+1 f s +( - i)S M) .... 
und für x — 1 erhält man hieraus: 
lg(l+*) = *-***+**• + . . ., 
für j; = 0 dagegen wird diese Entwickelung immer illusorisch, da dann modÄcO 
sein müsste. Setzen wir in der letzten Entwickelung h — 1, so hat man; 
lg (2) = 1—• ■ • 
Die Glieder nehmen ab und convergiren nach Null hin. Dies ist ein Zeichen 
dafür, dass die Reihe convergiren muss (siehe den Artikel: Reihen). 
Ist h= —1, so hat man : 
lg (0) =-(1+14-1+1+ 
Diese Reihe wird divergircn, da dieselbe zur Summe : 
lg0= —oo 
haben würde. Es ist dies ein Beispiel für den Fall, dass in der That aui der 
Grenze die Function convergiren oder divergiren kann. 
Eindeutige Functionen, welche für endliches x nie discontinuirlich werden, 
können, was auch x sei, immer nach ganzen positiven Potenzen von x entwick eit 
werden. Diese Eigenschaft haben z. B. die Functionen : 
x 
e , sm or, cos x, 
und in der That werden die entsprechenden Reihen: 
x 1 
= 1+* + : 
2 + T 
2-3 
+ 
Sin X— X — 
I + 
1 • 2 *3~ 1 • 2 • 3 • 4 • 5 
cos x~\ 
1 • 2 + 1 • 2 • 3 • 4 ' ' ' 
Von solchen Functionen sagt man, dass sich in dem Ringe zwischen + und B 
sie „den Charakter ganzer Functionen und auf diesen Curven selbst keine Dis- 
hahen,“ oder nennt sie auch kurzweg continuität oder Mehrdeutigkeit finde, 
„ganze Functionen.“ Sie sind aber auch 
die einzigen, welche sich immer nach 
ganzen positiven Potenzen von x selbst 
entwickeln lassen. 
17) EntwickelungderFunctio- 
nen nach ganzen positiven und 
negativen Potenzen der Va 
riablen. 
Wir untersuchen jetzt abermals das 
Integral : 
'Mu, 
a- ■ 
Fig. 78. 
erstrecken dasselbe jedoch über zwei ge- Die geschlossene Curve setzt voraus, 
schlossene Curven + und B, von denen dass in dem ganzen von B umschlosse- 
die eine von der andern ganz umgeben nen Gebiete sich entweder kein Win- 
wird (Fig. 78) Wir setzen voraus, dass dungspunkt finde, oder mehrere derart.