Quantität. 
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Quantität. 
oder : 
i /•(«) «¡o*. i r"■ t. 
2niJ u—z 2n.J 0 v 1 \ z 
+ 
J_ rWf(c')da_B l B B 
2/1 i.J Ct—Z Z 2 2 2 :| ’ 
B S=^ f «V(«) d( h «= Q ßCf \ 
und sonach hat man für jeden Werth von z, der in dem bezeichneten Ringe liegt: 
r(z) = A 0 +A l z+A a z*+ . . . +4* + ^f+ • • • 
A g und B g haben die obigen Werthe. 
„Jede Function lässt sich nach posi 
tiven und negativen ganzen Potenzen 
entwickeln, in dem von zwei concen- 
trischen, in unserem Sinne geschlossenen 
Kreisen begrenzten Raume, durch deren 
Peripherien je zwei nächste Discontinui- 
tätspunkte gehen.“ 
Hat also eine eindeutige Function f(z) 
in Funkten A v , A 2 , A 3 (Fig. 79) Dis- 
continuitäten, so legt man durch diesel 
ben Kreise, deren Mittelpunkt der An 
fangspunkt der Coordinaten ist; zwischen 
den durch A, und A 2 gehenden Krei 
sen, ferner zwischen den durch A 2 und A 3 
gehenden u. s. f. findet dann die Entwicke 
lung 2 statt, die immer convergirt, je 
doch in den verschiedenen Gebieten 
A,J a , A 2 A s . . . verschiedene Coeffi- 
cienten hat, während bis zu Kreis A v 
nach ganzen positiven Potenzen ent- 
^ i rm.*, 
s 2n iJ s—i 
Fig. 79. 
wickelt wird, also sämmtliche B der Null 
gleich werden. 
Die Werthe von A und B , die man 
s s ’ 
auch schreiben kann: 
zeigen aber, dass die Integrale rechts dieselben bleiben, wenn man r und q be 
liebige Werthe gibt, welche zwischen die r und q umschliessenden beiden nächsten 
Discontinuitätsmoduln fallen, denn für alle diese Werthe ist und 
u 
eindeutig und continuirlich , also das Integral dasselbe (Abschnitt 11). Die Be 
dingung r>mod z>q ist also aufgehoben, für q und r sind beliebig auch gleiche 
Werthe zu nehmen, welche jedoch zwischen den beiden zunächst liegenden Dis 
continuitätsmoduln liegen. Eben weil diese Grenzen mit dem Gebiete, worin z 
liegt, wechseln, wechselt auch die Form der Entwickelung. Man sieht, dass man 
jetzt auch schreiben kann: 
3 -d 2 ^ l 
2) f{z)= . . . +-^~ + + -j-+A 0 +A l z+A 2 z 2 + . . ., 
A 
s 
1_ r in /» 
2/1 J 0 « s 
d<f, 
P </ 1 
P<r<B, 
wo R der 2 nächste grössere, P der nächste kleinere Discontinuitätsmodul ist. 
Es lässt sich indess noch eine andere Entwickelung nach positiven und ne 
gativen Potenzen von z finden, die jedoch einen wesentlich andern und engem 
Charakter trägt als die vorige. Setzen wir zu dem Ende: