Quantität. 746 Quantität. 
Ist jetzt mod «dnods dnod/?, so kön 
nen noch und nach positiven, 
ß—z y—z r 
1 
aber nur nach negativen Potenzen 
«—z 
von z entwickelt werden. Man hat: 
f (z) — A 0 -\-A l z-\-A t z* 
^ ^ + 
so ist in demselben f(z) eindeutig, 
nämlich : 
m 
A =. 
ß 
,S+ 1 
+ 
,*+l 
В =■ 
Ist mod/J<mod 2<mody, so wird nur 
nach positiven Potenzen zu ent- 
y —2 
wickeln sein. In der obigen Reihe ist 
also: 
und für Z — V und z — r c~ 711 nimmt f(z) 
denselben Werth an. Da der Modul 
von — kleiner als 1 ist, so kann man 
nach dem Binomischen Satz entwickeln 
(i-f—V =1+— — 
V^zJ ^22 1*2* 2*2* 
1 • 3 
+ 
1 • 2 *3*2 S 2 S 
, B = 
s s+ l 
V 
Ist endlich mody<mod2, so tritt für 
alle drei Brüche Entwickelung nach ne 
gativen Potenzen ein. Es ist: 
also : 
rt.)=.+*- f7 - s v a , 4 
1-3 
1-2-3-2 3 z* 
Diese Entwickelung gilt für alle Werthe 
von 2, deren Modul grösser als 1 ist. 
18) Entwickelung der Functio 
nen nach Fourrier’schen Reihen. 
Da den Werthen z = ix, z = ß, z = y Dis- 
continuitätspunkte, und zwar die einzi 
gen, welche f(z) hat, entsprechen, muss 
in der That die Entwickelung sich vier 
mal ändern, nämlich in dem Kreise, 
dessen Peripherie durch a geht, erfolgt 
sie nach positiven Potenzen, innerhalb 
der Ringe, deren Grenzkreise durch « 
und ß, ß und у gehen, und innerhalb 
des ganzen Gebietes, welches ausserhalb 
des letzten Kreises fällt, in Entwicke 
lungen, welche auch negative Potenzen 
enthalten. 
Diese Entwickelung dauert so lange 
fort, bis ein Modul eintritt, welcher 
einem Windungspunkte entspricht. Fin 
det derselbe für 2 = 0 statt, so kann man 
der Entwickelung von f{z), indem man 
z=x-{-u setzt, die von f(x-\-u) nach 
Potenzen von u, oder von г — x sub 
stituyen, wenn für x kein Windungs 
punkt stattfindet, und diese Entwicke 
lung gilt dann bis zu dem x am näch 
sten liegenden Mehrdeutigkeitsmodul. 
II. Sei : 
f{z) = Yl(T+z). 
Für 2 = 0 und 2 = —1 finden Windungs- 
punkte statt. Zieht man vom Anfangs 
punkte aus einen Kreis r>l, welcher 
also beide Windungspunkte einschliesst, 
Unter Fourrier’schen Reihen versteht 
man Entwickelungen nach Sinus und 
Cosinus der Vielfachen der Variablen. 
Ihre gewöhnliche Anwendung erfolgt bei 
reellen Variablen, jedoch haben sie na 
mentlich auch für complexe Argumente 
sehr wichtige Eigenschaften. Sie können 
leicht aus den Entwickelungen des vori 
gen Abschnittes gefunden werden. 
Sei zu dem Ende f(z) eine in ge 
wissen Gebieten oder im ganzen Raume 
eindeutige Function, und setzen wir: 
r(z) = F(u), 
wo u gegeben ist durch die Gleichung: 
2/112 
also : 
_ cü lg u 
Z ~HiäT’ 
wo w eine beliebige Constante ist. Es 
wird also sein: 
Wenn aber auch f{z) eindeutig ist, so 
wird dies nicht mit / im All 
gemeinen der Fall sein, da lg« eine 
mehrdeutige Function ist. Man hat je 
doch bekanntlich: