Quantität.
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Quantität.
ntität.
ben f(z) eindeutig,
O JJ1
= re' nimmt f(z)
n. Da der Modul
1 ist, so kann man
icn Satz entwickeln
1
1-2-2’2»
1 • 3
2-3.2* 2* * ’ ■’
_1
-2* 2
L • 3 1
î-3-2* 2 1 ' ‘ ’
gilt für alle Werthe
grösser als 1 ist.
n g der Fu nctio -
er’schen Reihen.
ten Reihen versteht
n nach Sinus und
lien der Variablen.
Wendung erfolgt bei
ädoch haben sie na-
omplexe Argumente
diaften. Sie können
ickelungen des vori-
mden werden.
3 z) eine in ge-
r im ganzen Raume
und setzen wir:
F(u),
urch die Gleichung:
iniz
io
lg M
• J
ni
Constante ist. Es
f w lg m\
l 2ni J
t) eindeutig ist, so
rm » a >'-
sein, da Igw eine
ist. Man hat je-
1g m — / (m) -j- 2s ni,
wo l ein bestimmter Werth des Logarithmus, sni eine beliiebige ganze Zahl ist,
und diese Formel umfasst alle Werthe von Igt*. Es wird also sein;
F W=K^i , «+ 2s “ i] )='’( i 5^ +s 4
Damit also F (u) eindeutig, d. h. von dem Werthe von s unabhängig sei, muss
für jeden Werth von z sein :
f{z+sa)) = f(z),
eine Gleichung, die offenbar erfüllt ist, wenn man hat:
/■(2+to) =/’(2),
denn dann ist, wenn man für z nach einander setzt:
— Z~\~ W, 2-|“ 2 cü, O . . • Z (1) y Z 2cü . •
f (2) ~~f (2 w) — /*(s 2oi) . . .,
f(z)=f(z + M) = f y z+2w) . . .,
Eine Function, welche diese Eigenschaft hat, nennt man periodisch, und sagt, sie
habe die Periode w.
Die Entwickelung des vorigen Abschnittes ist also nur anwendbar auf F(m),
wenn f{z —F(u) in Bezug auf 2 die Periode w hat.
Sei dies jetzt der Fall, so hat man;
F(u)= . .
+
+
4-A 0 + A 1 m + A,m 5 + . . .,
1 r 2n F{ref' 1 )
A ~ -— / . dit,
ä 2n.J 0 ,* *7»
r ist ein zwischen zwei nächsten Discontiuuitätsmoduln der Function F(u) liegen
der Werth.
Sei r~e . Setzt man in Formel:
f\z) — F (m):
so erhält man, da:
ui À+ ui
u — re f ~e 1 ,
27**2
d. h.:
2 n 2 *
; k+(fi,
2^-Ai),
271 *2
also wenn man auch für den allgemeinen Werth von u wieder e 0J setzt:
27ii2 kniz bni z
1) f{z) — A 0 + A^e i0 e M -f-A 3 e 11 + . . .
2 71* 2 4 71* 2 6 ni Z
+A_ y e w +A_ 2 e w + A_^e w + .
*-“>]•-****
