Quantität. 
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Quantität. 
geben, im letztem heben sie sich. Das mittlere Integral gibt: 
2a r , 4a 
— cos sa — coss in—a) =— cos sa, 
sn sn 
■wenn s ungrade ist, und Null, wenn s grade ist. — Aus der Reihe: 
if (a;) = C\ sin x-\-C 2 sin 2#+ C 3 sin 3#-f . . . 
fallen also die mit graden Vielfachen der Sinus behafteten Glieder ganz weg. 
Man hat nun: 
< + r 
, - , , cos sa , a cos sa , sm sa 
Sin sa da — cos | da ~ j 
oder wenn man das Integral in den Grenzen 0 und a nimmt und mit 
4 ..... 4 /sins« ficosscA , 
— multiphcirt: — I— I, und dies mit dem Werthe des mittleren 
11 71 \ S 2 S / 
Integrals vereinigt, gibt für ungrade s: 
C ——- sin sa. 
S ns 2 
Es wird also die Ordinate q{x) vorgestellt durch die Reihe: 
, . 4 , . . , sin 3a sin 3x sin 5a sin 5a? sin 7a sin Ix 
y w ti ' 3'i ~ 52 ^ 7» -r • . 'j. 
Setzt man noch «=-—, wo sich dann das Trapez in ein gleichschenkliges Dreieck 
verwandelt, so hat man: 
, . 4 . . sin 3x , sin 5x . 
(f(x)=-~ (sm x — . . .). 
Die Fourrier’schen Reihen sind zuerst 
in Bezug auf reelle Werthe der Varia 
blen in Anwendung gekommen, und 
zwar bei Gelegenheit des Problems der 
schwingenden Saite (siehe den Artikel; 
Schwingungen elastischer Körper) durch 
Lagrange, obgleich Euler diese Reihen 
schon kannte. Ihre hohe Wichtigkeit 
für den Zweck, willkürliche und discon- 
tinuirliche Functionen auszudrücken, 
wurde zuerst vollständig von Fourrier 
erkannt (theorie analytique de chalewr). 
Die Convergenz der Reihen für reelle 
Variablen bewies zuerst Dirichlet (Crelle’s 
Journal, Bd. 4). Ihre grosse Wichtig 
keit für die Theorie der complexen Va 
riabien ist in der neuesten Zeit erst 
völlig erkannt worden. 
Noch bemerken wir, dass sich eine 
zweite Entwickelung nach Potenzen von 
e ax 1 analog der zweiten im vorigen 
Abschnitte finden lässt. 
19) Grundzüge der Residuen- 
rechnung. 
Wir haben noch eine Entwickelung 
zu geben, welche alle eindeutigen Func 
tionen in einer nicht von Gebiet zu Ge 
biet wechselnden Entwickelung darstellt. 
Es sind dazu jedoch noch einige andere 
Betrachtungen nöthig, welche die von 
Cauchy so genannte Residuenrechnung 
bilden. 
Hat eine Function f(x) die Eigen 
schaft, für x = a discontinuirlich zu wer 
den , ohne dass a ein Windungspunkt 
ist, so lässt sich, wenn man Punkt « 
mit einem beliebig kleinen Kreise um 
gibt, zwischen der Peripherie dieses Krei 
ses und derjenigen concentrischen, welche 
durch die a nächste Discontinuität oder 
Mehrdeutigkeit geht, die Function: 
f(x)=f(a+y) 
nach ganzen positiven und negativen 
Potenzen von y — x — u entwickeln, wie 
wir gesehen haben. 
Es ist also: 
f(?) = a 0 +a l (x—a)+a 2 («-«) 2 + . . ., 
Die Coefficienten dieser Entwickelung 
sind Abschnitt 17) gegeben. Da der 
erste a umgebende Kreis beliebig klein 
sein kann, so gilt diese Entwickelung 
für alle Werthe von x, welche im zwei 
ten Kreise liegen. Es lässt sich nun 
folgender Satz beweisen. 
I. Ist die Discontinuität in f(x) für 
x~a erster Gattung, so ist in der Ent 
wickelung nach Potenzen von x— a die 
Anzahl der mit negativen Potenzen von 
x—a behafteten Glieder immer eine 
endliche. 
Offenbar nämlich ist in diesem Falle: