Quantität. 
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Quantität. 
20) Digression auf die linearen Differenzialgleichungen. 
„Ein beliebiges System linearer Differenzialgleichungen ist gegeben. Es 
sollen allgemeine Ausdrücke für die Integrale gefunden werden, welche gegebenen 
Anfangsbedingungen genügen.“ 
Bekanntlich hängt die Gestalt der Integrale bei Anwendung der gewöhnlichen 
Methode von der Anzahl der gleichen Wurzeln einer' algebraischen Gleichung ab. 
Sei: 
1) 
x =0 
n— 1 n— 1 
das Symbol für die n Gleichungen; die b und a sind beliebige Constanten und für s 
sind alle Werthe von 0 bis n—1 zu setzen. 
Sei ferner: 
2) 
Setzen wir: 
3) 
x s =t s für f = 0. 
Ul J 
e du, 
wo (f 0 , </, , . . zu bestimmende Functionen von u sind, und die Grenzen der 
Integration nachher festgestellt werden sollen. Durch Einsetzen von 3) in 1) er 
hält man: 
j '^6^ « y s («) + fl 0 ^ y »(“)+«(»)+ • • • + a ^\ 1 ? n _ !(«)) e M 1 du = 0. 
Offenbar ist diese Bedingung erfüllt, wenn das Integral sich über eine geschlossene 
Curve erstreckt, und das Argument eine beliebige ganze Function von u, also, 
da e lt immer den Charakter einer solchen hat, wenn z. B. der Ausdruck in der 
Klammer eine Constante ist. Dies führt zu den Gleichungen: 
4)tf 0 ^1oW+«i^ifiM+ • • • + 
+a 
(0 
(«)‘+ 
s+l 's+iWT • • • +« (S) W _I y n _i(«)=c s , 
wo die Grössen c zu bestimmende Constanten sind. Aus diesen Gleichungen 
ergibt sich sogleich durch Elimination: 
5 A(m) 
c d A ( w ) , c 
•j. o» + w 
• +c 
n—1 
5) 7> a («) = 
wenn man setzt: 
6) A(m) = 
da i”“ 1 ) 
A(m) 
(*— 0 
Um die Grössen c, 
/ 0) +6(°)«, 
-.<•>. ..w. 
(0) 
n—1 
(0 
) > 
. ...0) ■ 
n — 1 
(2) 
1 1 
A !) +i (2 >«. 
. . .(’) 
n—1 
(n- 
-*> . 
(»— 1) 
« (—0. 
2 • * • 
n—1 
c n— 1 
zu bestimmen 
, wollen wir 
über eine Curve ausdehnen, welche alle Discontinuitäten, d. h. alle Wurzeln der 
Gleichung A(i<) = 0 einschliesst. Bemerken wir dann, dass von den Grössen