Quantität. 
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Quantität. 
Ist für ®=:0 keine Discontinui!ät vorhanden, so beschränkt sich dieser Aus 
druck auf eine Constante a 0 . Ist die Discontinuität zweiter Gattung, so hat man: 
B 'cc f ^ = a s +a s-\ z + a s -2 z2+ • • •’ 
also eine unendliche Reihe. 
Wir wollen auch das allgemeine Glied der Summe in 1) auf ähnliche Art 
ausdrücken. Sei dasselbe auf den Discontinuitätspunkt « bezogen, der von ster 
Ordnung sein möge, so hat man in dessen Nähe : 
/■(,.) = —is— + + b -l + . . . 
' w , \S f N S — I , \S— ‘2 1 U — a 
[u — a) (m — a) (u — a) 
+ + 
s + 
, (tt-ft)+ . . 
ferner : 
1 
z— u 
1 t u—a t (u—a) 1 
T ~ Ti t 
z—a—(u—«) z — a (z — ß) 2 (z— «) 
Nimmt man aus dem Product beider Entwickelungen das mit 
so ergibt sich: 
[/X«)] 
+ • • 
1 
behaftete Glied, 
Res 
+ 
+ ...+- 
H C-v ö / \» I / \ O ^ ** li 
(* — a) (z — (() (* — a) 
also gleich dem mit negativen Potenzen Uebrigens ist nach dem Maclaurin- 
behafteten Theil der Entwickelung von sehen Satze; 
f(z), welche in der Umgebung von z = a (p), .. 
gilt. Bezeichnen wir diesen Theil der b - — ^ a ' 
Entwickelung mit B f(z), so kommt : Q 
^ ° wo: 
f(?) _ 
1 • 2 .. p’ 
Res 
■ = B m- 
(Die Zeichen B und B' ergänzen also und 
einander insofern, dass das erste auf ist, ferner: 
alle negativen, das zweite auf alle nicht 
negativen Potenzen geht.) 
Ist die Discontinuität a von der ersten 
Ordnung, so ist offenbar: 
Ä/(») = -^-=~Res f(z). 
(f (x) = (x—a) f(x), 
der p te Differenzialquotient 
Ist sie zweiter Gattung, so ist: 
P 1-2...p 
V(x) = x S f (1) 
*/(*) = ■ 
+ 
,+ 
Z « ‘ (5 — ß) : 
Man hat also für jede eindeutige Func 
tion, wenn Fall I. Anwendung findet: 
2} f(z) = 2BJ(z) + B^f(z), 
oder: 
3) f(z) — A Res 
tmi 
+ Res 0 
v (1— 2 v) 
zu setzen ist. 
Aus Gleichung 2) und 3) folgt nun; 
Jede eindeutige Function lässt sich 
als ganze Function vermehrt um eine 
b $ 
Anzahl Partialbrüche aus- 
(2 —«) S 
drücken, d. h.: 
Jede eindeutige Function hat entweder 
den Charakter einer ganzen Function 
oder den eines rationalen Bruches. 
Die Formeln 1), 2) und 3) enthalten 
die Theorie der algebraischen und trans- 
cendenten Partialbrüche. Im ersten 
Falle ist die Summe eine endliche. Sie 
lässt sich in diesem Falle bekanntlich 
In jedem Falle aber gilt Formel 1), uieBC , m 
n man di« »Unf.lic aUch auf andem Wege llCrleiten 
Für Fall II. wollen wir uns noch 
wo man die Rosiduensumme ebenfalls 
durch 2B f (2) ersetzen kann. 
mit der Umwandlung des von A abhän-