Quantität. 
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Quantität. 
3a) f(z) = f(ß)H 
Hl“' 
und unter der obigen Bedingung; 
. ßÄ)f'W 
iJ 
dL 
4a) 2 niJ X f(X) 
Aus diesen Entwickelungen folgen aber 
einige wichtige Resultate. 
Da das Product V in Formel 1) durch 
die Nullen und Discontinuitäten völlig 
bestimmt ist, so folgt unmittelbar: 
I. Jede eindeutige Function, die im 
Endlichen nur Discontinuitäten erster 
Gattung enthält, ist bis auf einen Factor 
bestimmt durch die Lage und Ordnung 
ihrer Discontinuitäten und Nullen. Zwei 
Functionen, die in diesen Punkten über 
einstimmen, sind also bis auf einen Fac 
tor identisch. Dieser Factor ist con 
stant, wenn der Unendlichkeitspunkt kein 
Discontinuitätspunkt ist, im andern Falle 
ist er eine Exponentialgrösse, deren Ex 
ponent eine ganze Function ist. 
Ebenso lehrt Formel I. und II. des 
Abschnitts 20): 
II. Jede eindeutige Function ist eine 
Summe von andern solchen, deren jede 
mit der gegebenen eine Discontinuität 
in gleicher Gattung und Ordnung ge 
mein hat, im Uebrigen aber stets conti- 
nuirlich ist. 
Offenbar hat nämlich jedes Glied 
diese Eigenschaft für ¡a = «. 
Wir wollen jetzt den Discontinuitäten 
zweiter Gattung noch eine wichtige Form 
geben. 
Das einer solchen a entsprechende 
Glied in f{z) ist: 
?'„(*) = V'(«) = i s _ 1 «+& s _ 2 MSI + • • •> 
wenn man u — —-— setzt. 
z—« 
Dies Glied hat also die Form einer 
ganzen Function, und indem man die 
selbe in ein Product vei - wandelt, er 
hält man nach Formel 3) dieses Ab 
schnittes, da eine Discontinuität nur für 
m = co vorhanden ist: 
y ß («) = B u (u — ß, )* 1 (« — ß 2 f 2 
. . . 
H ist eine Constante, 0, ß t , ß 2 die Nullen 
von y, (m), V(m) eine nach ganzen Po 
tenzen von u geordnete Reihe. Je nach 
dem Charakter der Discontinuität ist 
diese Entwickelung entweder von der 
Form der Curve A, welche V gibt, ab 
hängig oder nicht, im erstem Falle kann 
dann V (u) auf eine Constante reducirt 
werden (vergleiche Abschnitt 20). Man 
hat also: 
5) 
(i_ ... 
Hieraus folgt dann sogleich]: 
Eine eindeutige Function, die nur 
Discontinuitäten erster Gattung und in 
endlicher Anzahl enthält, ist gleich einer 
ganzen Function vermehrt um eine Bruch 
reihe, also schliesslich ein echter oder 
unechter Bruch. 
Hat sie nur eine Discontinuität und 
zwar für 2 = go , so ist sie eine ganze 
Function (dies ist schon früher gezeigt). 
Ist diese Discontinuität erster Gattung, 
so ist sie eine endliche Reihe. 
III. Die Discontinuitäten zweiter Gat 
tung einer eindeutigen Function sind 
immer so beschaffen, dass wenn man 
« einen unendlich kleinen Zuwachs gibt, 
derselbe wenigstens in einer Richtung 
bewirkt, dass die Function unendlich wird. 
Denn das Glied 
■ + 
,+ •• 
2—ß (Z — ß) 5 
Welches dieser Discontinuität entspricht, 
muss, wie jede eindeutige Function, doch 
einmal unendlich werden, und dies kann 
nur für 2 — ß geschehen. 
a o + : 
j _» + 
^ (« — «)» 
Dagegen tritt für die Discontinuität, 
welche 2 = co entspricht, das Glied ein: 
6) ip{z ) = A^—ßß) tl {z—ß i ) t " 
/o+ c i*+ c j* a + • • • 
Für alle'Glieder, welche Discontinuitäten 
erster Gattung entsprechen, bleibt die 
Exponentialgrösse weg, und das Product 
ist ein endliches. 
Man hat also für alle eindeutigen Func 
tionen jetzt die allgemeine Form: 
7) /■(s) = ^ ft y a 0) + V'0) 
+ 
Cjz—eJ^ (z— 
(2 (*-*,)*“ ■ 
wo das erste Glied rechts anf alle Dis 
continuitäten zweiter Gattung geht. Das 
Schlussglied entsteht aus allen Discon 
tinuitäten erster Gattung.