Quantität. 776 Quantität. 
sten Windungspunkte. — Alle diese Ent 
wickelungen geben vermöge der verschie- 
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denen Werthe von ]/(s—A) alle q inein 
ander übergehenden Functionen. In der 
letzten Form der Entwickelung ist noch 
namentlich der Fall zu beachten, wo A 
selbst ein Discontinuitätspunkt ist. Dann 
sind in der Reihe der Partialbrüche Glie 
der, die y = 0 entsprechen, also von der 
Form; 
9 ( 9 ^ 
V(*-A) \y^-A)J 
vorhanden. 
Noch ist indessen zu bemerken, dass 
alle diese Betrachtungen für den Fall 
illusorisch werden, wenn die Function 
unendlich vielwerthig ist, und der Win 
dungspunkt derart, dass der erste Werth 
in den zweiten, der zweite in den drit 
ten und so fort ins Unendliche übergeht. 
Dergleichen Windungspunkte kann man 
als solche von der zweiten Gattung be 
zeichnen, während wir die, wo die Func 
tionen wieder nach einer Anzahl Win 
dungen auf den anfänglichen Werth zu 
rückkommen, als erste Gattung bezeich 
nen. — Ist A für q Werthe ein Win 
dungspunkt qter Ordnung, für r andere 
ein solcher rtcr Ordnung, so gilt für die 
letzteren ganz dasselbe, die Entwicke- 
r 
lung findet nach Potenzen von ]/(z— A) 
statt. 
24) Allgemeingültige Dar Stel 
lung derjenigen mehrdeutigen 
Functionen, welche nicht un 
endlich viel Werthe haben. 
Wie die Windungspunkte können auch 
die mehrdeutigen Functionen selbst in 
zwei Klassen gebracht werden, von de 
nen die erste alle umfasst, welche eine 
bestimmte^ endliche Anzahl Werthe für 
jeden Punkt haben, die zweite die un 
endlich vieldeutigen. — Die erste Klasse 
nun ist einer für den ganzen Raum gül 
tigen Darstellungsweise fähig. — Seien 
nämlich u,, m, . . . u die n Werthe 
der wdeutigen Function u = f{x), so ist 
leicht einzusehen, dass jede rationale 
Verbindung der Grössen w a , u 1 . . . 
nur insofern mehrdeutig sein kann, als 
man zwischen diesen Grössen beliebige 
Vertauschungen kann eintreten lassen. 
Diese Vertauschungen bringen aber keine 
Aenderung hervor, wenn die Function 
von m 1 , Mj ... u n eine symmetrische 
ist, d. h.; 
I. „Jede symmetrische und rationale 
Function der n Werthe einer wdeutigen 
Function f{x) ist eine eindeutige Func 
tion von x.“ 
Betrachten wir sonach folgende ein 
deutige Functionen von x: 
1) — M i+M a + . • • 
U J =M l ?i 2 +M l M 3 + . . . 
v 3 = U t Mj it 3 -f-M 1 Mj W < . . . ~\~U U U 
” u fl 1 fl 
V =U t tlo . . . u , 
n 1 * n’ 
so sind w u m 3 . . . m bekanntlich die Wurzeln der Gleichung : 
n w—1 , n — 
2) u — v t u -f-u 2 w 
deren Coefficienten also eindeutig sind. 
Also: 
II. „Die n Werthe einer wdeutigen 
Function sind jedenfalls darstellbar als 
die Wurzeln einer Gleichung, deren 
Coefficienten eindeutige Functionen von 
x sind, also den Charakter ganzer Func 
tionen oder rationaler Brüche haben.“ 
Es ist nöthig, die Coefficienten 
v 2 . . . v n der Gleichung 2) noch näher 
zu untersuchen. 
Zunächst ist aus den Formeln 1) klar, 
dass keiner derselben in einem Punkte 
unendlich werden kann, ohne dass we 
nigstens eine der Functionen u lt m 2 . .. 
« in demselben Punkte unendlich wird, 
und daraus folgt der Satz: 
III. „J 
wenigstens 
Es lässt 
beweisen : 
IV. „V 
einer der 
wird, so m 
Coefficienb 
finden.“ 
Denn an 
endlich, wi 
blieben. I 
Gleichunge 
gleichzeitig 
Null gleicl 
Fall, so 
die Gestalt 
M, M 2 
indem alle 
Es muss a 
soll, ein Fai 
hat dann: 
u l u 
also auch: 
u. s. w., s 
chung: 
«i- 
sich verwai 
also u v m 
Annahme i 
Es ist 
Functionen 
in den Coe 
Grades ang 
tionen nui 
werden, so 
V. „W 
Grades, wi 
alle Coeffic 
Functionen 
ner der W 
discontinuir 
Mögen j( 
< liches x nu 
tung enthal 
immer dun 
darstellen, 
solche Disc 
oder mehre 
kann, aber 
als von de 
Die Coefih